108學年鷺江國中第2次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   小鷺：切線的定義

   直線 $L$ 通過圓上的 $A$ 點，只保證 $L$ 和圓至少有一個公共點。這樣的直線可能只碰到 $A$ 一點（那才是切線），也可能繼續往前穿出圓周、在另一邊再交一次（那是割線）。光憑「通過圓上一點」無法斷定它是切線，小鷺錯。
2. 2

   小江：弦心距與弦長

   在同一圓中，設半徑 $r$、弦心距 $d$、弦長的一半為 $\ell$，圓心到弦的垂線會平分弦，於是 $d^2+\ell^2=r^2$，即 $\ell^2=r^2-d^2$。$r$ 固定時，$d$ 越長 $\ell$ 越短，弦也就越短。小江把方向說反了。
3. 3

   小國：平行弦所夾的弧

   兩弦平行時，相等的是被這兩條弦「夾在中間」的那兩段弧，而不是兩條弦各自所對的弧。$\overparen{AB}$ 與 $\overparen{CD}$ 相不相等，取決於 $\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$ 是否等長。舉例：同一圓中畫一條長 $6$ 的弦，再畫一條與它平行、長 $8$ 的弦，兩弦不等長，所對的弧當然也不相等。小國錯。
4. 4

   小中：三角形不等式

   $r_1$、$r_2$、$\overline{O_1O_2}$ 三段能圍成三角形，等價於任兩邊之和大於第三邊，整理後就是 $|r_1-r_2|<\overline{O_1O_2}<r_1+r_2$。這恰好就是兩圓交於兩點的條件，而且此時 $O_1$、$O_2$ 與任一個交點真的構成一個三角形，三邊長正是 $r_1$、$r_2$、$\overline{O_1O_2}$。小中對。
5. 5

   下結論

   四個人當中，小鷺、小江、小國的敘述都有問題，只有小中的說法正確。故選 (D)。

關鍵觀念：#切線定義 #弦心距 #弧與弦關係 #兩圓交點

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