108學年鷺江國中第2次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   四個角都在看同一條弦

   看清楚圖上四個角的頂點與兩邊：$\angle1$ 的頂點是圓內的 $D$，兩邊是 $\overline{DA}$、$\overline{DC}$；$\angle2$ 的頂點是圓上的 $B$，兩邊是 $\overline{BA}$、$\overline{BC}$；$\angle3$ 的頂點是圓外的 $E$，兩邊分別通往 $A$ 與 $C$；$\angle4$ 的頂點是圓上的 $C$，一邊是弦 $\overline{CA}$、另一邊是切線 $L$。四個角其實都在看同一條弦 $\overline{AC}$，差別只在頂點站的位置。
2. 2

   先比圓上的兩個角

   $\angle2$ 是圓周角，$\angle2=\dfrac{1}{2}\overparen{AC}$，這裡的 $\overparen{AC}$ 指的是不含 $B$ 的那一段。$\angle4$ 是弦切角，它所夾的正是同一段 $\overparen{AC}$，所以 $\angle4=\dfrac{1}{2}\overparen{AC}$。兩者完全相等：$\angle2=\angle4$。
3. 3

   圓內的角比圓上的大

   把 $\overline{CD}$ 往 $D$ 的方向延長，交圓於 $M$。因為 $C$、$D$、$M$ 共線且 $D$ 在中間，$\angle1=\angle ADC$ 就是 $\triangle ADM$ 在 $D$ 的外角，所以 $\angle1=\angle AMD+\angle DAM>\angle AMD$。而 $\angle AMD$ 就是 $\angle AMC$，它和 $\angle2$ 同對不含 $M$、$B$ 的那段 $\overparen{AC}$，兩者相等。因此 $\angle1>\angle2$。
4. 4

   圓外的角比圓上的小

   設 $\overline{EA}$ 與圓的另一個交點為 $N$（$N$ 落在 $E$ 與 $A$ 之間），連 $\overline{NC}$。$\angle ANC$ 是 $\triangle ENC$ 在 $N$ 的外角，所以 $\angle ANC=\angle3+\angle NCE>\angle3$。而 $\angle ANC$ 與 $\angle2$ 同對那段 $\overparen{AC}$，兩者相等，因此 $\angle3<\angle2$。
5. 5

   排出大小順序

   把三步的結果串起來：$\angle1>\angle2=\angle4>\angle3$。最大的是頂點落在圓內的那個角，也就是 $\angle1$。故選 (A)。

關鍵觀念：#圓周角 #圓內角 #圓外角 #切線

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