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108學年鷺江國中第2次段考數學 第9題 詳解

平行弦與外角求角度 · 單選 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖，AA、BB、CC、DD四點均在一圓弧上，BC‾/ ⁣/AD‾\overline{BC}/\!/\overline{AD}且直線ABAB與直線CDCD相交於EE點。若∠BCA=50°\angle BCA=50°，∠BAC=20°\angle BAC=20°，則∠BEC=\angle BEC=？ (A) 20°20° (B) 30°30° (C) 40°40° (D) 50°50°
A在左上、D在左下，A、D之間以一直線相連，兩點皆在圓弧上；B在中上偏右、C在中下偏右，皆在圓弧上。圖中另有直線將A分別連到B、C，D與C之間也有直線相連；D、C之間的直線與A、B之間的直線分別向右延伸，交於最右側的E點。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    用平行線補出 ∠CAD

    已知 BC‾/ ⁣/AD‾\overline{BC}/\!/\overline{AD}，取 AC‾\overline{AC} 當截線，∠BCA\angle BCA 與 ∠CAD\angle CAD 分居截線兩側，是一組內錯角，所以 ∠CAD=∠BCA=50°\angle CAD=\angle BCA=50°。
  2. 2

    拼出 ∠BAD

    AC‾\overline{AC} 在 ∠BAD\angle BAD 的內部，把兩塊加起來：∠BAD=∠BAC+∠CAD=20°+50°=70°\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=20°+50°=70°。
  3. 3

    對角互補求 ∠BCD

    AA、BB、CC、DD 四點共圓，ABCDABCD 是圓內接四邊形，對角互補，所以 ∠BCD=180°−∠BAD=180°−70°=110°\angle BCD=180°-\angle BAD=180°-70°=110°。
  4. 4

    挪進三角形 BCE

    DD、CC、EE 三點共線且 CC 在中間，所以 ∠BCE=180°−∠BCD=180°−110°=70°\angle BCE=180°-\angle BCD=180°-110°=70°。另一邊，以 AB‾\overline{AB} 為截線，∠BAD\angle BAD 與 ∠ABC\angle ABC 是同側內角，∠ABC=180°−70°=110°\angle ABC=180°-70°=110°；又 AA、BB、EE 共線且 BB 在中間，所以 ∠EBC=180°−110°=70°\angle EBC=180°-110°=70°。
  5. 5

    三角形內角和收尾

    在 △BCE\triangle BCE 中，∠BEC=180°−∠EBC−∠BCE=180°−70°−70°=40°\angle BEC=180°-\angle EBC-\angle BCE=180°-70°-70°=40°。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#圓周角 #平行弦 #外角

常見卡點
很多人看到 ∠BCA=50°\angle BCA=50°、∠BAC=20°\angle BAC=20° 就想硬在 △ABC\triangle ABC 裡把答案湊出來，最典型的是把 ∠BCA\angle BCA 誤當成 △ACE\triangle ACE 在 CC 的外角，列出 50°=20°+∠BEC50°=20°+\angle BEC 而得到 30°30°。可是 CC 點的外角另一邊是 CD‾\overline{CD} 的延長線，不是 CB‾\overline{CB}，這條路一開始就走岔了。這題非動用 BC‾/ ⁣/AD‾\overline{BC}/\!/\overline{AD} 不可，平行條件一漏，角度就接不起來。

還是卡住嗎？

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