108學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   判斷的關鍵是什麼

   直線與圓的位置關係，只看圓心到直線的距離 $d$ 和半徑 $r$ 誰大：$d>r$ 不相交、$d=r$ 相切（只交於一點）、$d<r$ 交於兩點。這題圓心是原點、$r=10$，所以剩下的工作就是把原點到直線 $x-y+14=0$ 的距離算出來。
2. 2

   先找直線與兩軸的交點

   在 $x-y+14=0$ 中令 $y=0$ 得 $x=-14$，令 $x=0$ 得 $y=14$。所以這條直線交 $x$ 軸於 $P(-14,0)$、交 $y$ 軸於 $Q(0,14)$。
3. 3

   用面積的兩種算法逼出距離

   $\triangle OPQ$ 的直角在原點 $O$，兩股 $\overline{OP}=\overline{OQ}=14$，斜邊 $\overline{PQ}=\sqrt{14^2+14^2}=14\sqrt2$。面積可以用兩股算：$\dfrac{1}{2}\times14\times14=98$；也可以用斜邊乘上斜邊上的高 $d$：$\dfrac{1}{2}\times14\sqrt2\times d$。
4. 4

   解出距離

   令兩式相等：$\dfrac{1}{2}\times14\sqrt2\times d=98$，得 $d=\dfrac{196}{14\sqrt2}=\dfrac{14}{\sqrt2}=7\sqrt2$。
5. 5

   和半徑比大小

   比較 $7\sqrt2$ 與 $10$ 時，兩邊平方最保險：$(7\sqrt2)^2=49\times2=98$，而 $10^2=100$。因為 $98<100$，所以 $7\sqrt2<10$，也就是 $d<r$。
6. 6

   下結論

   圓心到直線的距離小於半徑，直線會切進圓的內部再穿出來，與圓相交於兩點。故選 (C)。

關鍵觀念：#坐標平面 #直線與圓 #點到直線距離

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