111學年鷺江國中第2次段考數學 第24題 詳解

逐步解析

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   把條件翻成圓心在哪

   作圖題先別急著動圓規，要先問「圓心必須滿足什麼」。條件有兩個：圓通過 $A$，而且與直線 $L$ 相切於 $B$。相切於 $B$ 表示 $B$ 也在圓上，而且半徑 $\overline{OB}$ 垂直於 $L$；圓同時通過 $A$ 和 $B$，表示圓心到 $A$、$B$ 的距離相等。兩個條件各給圓心一條軌跡，交點就是圓心。
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   第一條軌跡：過 B 的垂線

   因為切點處的半徑垂直於切線，圓心一定落在「過 $B$ 且垂直於 $L$」的那條直線上，把它記為 $M$。尺規作法：以 $B$ 為圓心取適當半徑畫弧，交 $L$ 於 $P$、$Q$ 兩點；再分別以 $P$、$Q$ 為圓心、取大於 $\overline{PQ}$ 一半的長為半徑畫弧，兩弧交於 $N$；連 $\overline{BN}$ 並延長，$\overleftrightarrow{BN}$ 就是 $M$。
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   第二條軌跡：AB 的中垂線

   圓通過 $A$ 與 $B$，所以圓心到這兩點等距，一定落在 $\overline{AB}$ 的垂直平分線上，把它記為 $N_1$。尺規作法：連 $\overline{AB}$，分別以 $A$、$B$ 為圓心、取大於 $\overline{AB}$ 一半的長為半徑畫弧，兩弧在 $\overline{AB}$ 的兩側各交於一點，連這兩點所得的直線就是 $N_1$。
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   取交點畫圓

   $M$ 與 $N_1$ 的交點記為 $O$，以 $O$ 為圓心、$\overline{OB}$ 為半徑畫圓，這就是所求的圓。作圖痕跡（四段弧與兩條輔助直線）全部保留不要擦掉。兩條軌跡必定相交：若 $M$ 與 $N_1$ 平行，因 $M\perp L$ 且 $N_1\perp\overline{AB}$，會推得 $\overline{AB}$ // $L$；但 $B$ 在 $L$ 上，那樣 $A$ 也會落在 $L$ 上，與 $A$ 是 $L$ 外一點矛盾。
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   回頭驗證兩個條件

   檢查所作的圓是否合格。第一，$O$ 在 $\overline{AB}$ 的中垂線上，所以 $\overline{OA}=\overline{OB}$，而半徑就是 $\overline{OB}$，因此 $A$ 在圓上，圓確實通過 $A$。第二，$O$ 在過 $B$ 且垂直 $L$ 的直線上，所以 $\overline{OB}\perp L$；一條直線若垂直於圓在某點的半徑且通過該點，這條直線就是圓的切線，因此 $L$ 與圓相切於 $B$。兩個條件都成立，所求的圓就是以 $O$ 為圓心、$\overline{OB}$ 為半徑的圓。

關鍵觀念：#切線作圖 #尺規作圖

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