108學年鷺江國中第2次段考數學 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把五種位置關係排出來

   設兩圓半徑為 $R$、$r$（$R>r$），連心線段長為 $d$。兩圓的位置關係完全由 $d$ 與 $R+r$、$R-r$ 的大小決定：$d>R+r$ 是外離；$d=R+r$ 是外切；$R-r<d<R+r$ 是交於兩點；$d=R-r$ 是內切；$d<R-r$ 是內離。
2. 2

   題目的條件刪掉哪兩種

   題目說「連心線段長大於兩圓半徑差」，也就是 $d>R-r$。這一刀砍掉了 $d=R-r$ 的內切，也砍掉了 $d<R-r$ 的內離。剩下能發生的只有外離、外切、交於兩點三種。
3. 3

   數出各自的公切線條數

   外離時兩圓完全分開，有 $2$ 條外公切線加 $2$ 條內公切線，共 $4$ 條；外切時兩圓在外側相碰，有 $2$ 條外公切線加上切點處的 $1$ 條，共 $3$ 條；交於兩點時只剩 $2$ 條外公切線。
4. 4

   找出做不到的個數

   剩下三種情形分別給出 $4$、$3$、$2$ 條公切線，唯獨湊不出 $1$ 條。公切線只有 $1$ 條的情形只發生在內切，而內切已經被 $d>R-r$ 排除了。故選 (A)。

關鍵觀念：#兩圓位置關係 #公切線

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