114分科測驗數學甲 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   考點與切入

   本題考平面變換矩陣（選修數甲：矩陣）。最快的路是直接寫出兩個標準矩陣、乘出 $BA$，再比較元素和。以原點為中心逆時針旋轉 $\theta$：$A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$；以 $x$ 軸為鏡射軸：$B=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$。
2. 2

   乘出 BA

   $BA=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ -\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$。左乘 $B$ 的幾何效果，就是把 $A$ 的第二列整列變號。
3. 3

   比較元素和

   $a_1+a_2+a_3+a_4=\cos\theta-\sin\theta+\sin\theta+\cos\theta=2\cos\theta$；$c_1+c_2+c_3+c_4=\cos\theta-\sin\theta-\sin\theta-\cos\theta=-2\sin\theta$。條件 $a_1+a_2+a_3+a_4=2(c_1+c_2+c_3+c_4)$ 即 $2\cos\theta=-4\sin\theta$。
4. 4

   解出正切

   由 $2\cos\theta=-4\sin\theta$ 得 $\cos\theta=-2\sin\theta$。若 $\cos\theta=0$，此式將迫使 $\sin\theta=0$，與 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 矛盾，故 $\cos\theta\ne 0$，可除得 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\dfrac12$。驗算：取 $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt5}$、$\cos\theta=-\dfrac{2}{\sqrt5}$，左式 $2\cos\theta=-\dfrac{4}{\sqrt5}$，右式 $-4\sin\theta=-\dfrac{4}{\sqrt5}$，相符。答案為 $-\dfrac12$。

關鍵觀念：#旋轉矩陣 #鏡射矩陣 #矩陣乘法 #三角函數

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