114分科測驗數學甲 第9題 詳解

旋轉矩陣・跡值 · 選填 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   第 1 步：先把題目翻成矩陣語言

   旋轉角為 $\theta$ 的旋轉矩陣是
   $$A=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}.$$
   所以
   $$a_1+a_2+a_3+a_4=\cos\theta-\sin\theta+\sin\theta+\cos\theta=2\cos\theta.$$
   鏡射軸是 $x$ 軸的鏡射矩陣為
   $$B=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}.$$
2. 2

   第 2 步：算出 $BA$ 的形式

   由矩陣乘法可得
   $$BA=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ -\sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix}.$$
   因此
   $$c_1+c_2+c_3+c_4=\cos\theta-\sin\theta-\sin\theta-\cos\theta=-2\sin\theta.$$
3. 3

   第 3 步：代入題目給的等式

   題目條件是
   $$a_1+a_2+a_3+a_4=2(c_1+c_2+c_3+c_4).$$
   代入前兩步得到
   $$2\cos\theta=2(-2\sin\theta).$$
   化簡得
   $$\cos\theta=-2\sin\theta.$$
4. 4

   第 4 步：整理成正切值

   由
   $$\cos\theta=-2\sin\theta$$
   若 $\cos\theta
   eq 0$，兩邊同除以$\cos\theta$，得
   $$1=-2\tan\theta,$$
   所以
   $$\tan\theta=-\frac12.$$
   這就是最簡分數形式。

關鍵觀念：#旋轉矩陣 #鏡射矩陣 #矩陣乘法 #三角函數