114分科測驗數學甲 第8題 詳解

共線・代入 · 多選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   設 $z=x+yi$

   由題意 $\operatorname{Im}(z)
   eq 0$且$|z|=2$，所以可設$z=x+yi$，並得到$x^2+y^2=4$。另外因為虛部不為$0$，所以$z
   eq 1$，後面處理共線條件時可直接使用分式。
2. 2

   把共線改寫

   在複數平面上，$1、z、z^3$ 共線，等價於
   $$\frac{z^3-z}{z-1}\in\mathbb{R}.$$
   整理得
   $$\frac{z^3-z}{z-1}=z(z+1)=z^2+z.$$
   因此 $z^2+z$ 必須是實數，也就是其虛部為 $0$。
3. 3

   求出實部

   令 $z=x+yi$，則
   $$\operatorname{Im}(z^2+z)=y(2x+1).$$
   因為 $y
   eq 0$，所以$2x+1=0$，得到
   $$x=-\frac12.$$
   因此選項 (3) 正確。再由 $x^2+y^2=4$ 可得
   $$y^2=4-\frac14=\frac{15}{4}.$$
4. 4

   判斷各選項

   (1) $z\bar z=|z|^2=4
   eq 2$，錯。
   
   (2) 因為 $\dfrac{z^3-z}{z-1}=z^2+z\in\mathbb{R}$，所以其虛部為 $0$，對。
   
   (3) 已知 $x=-\dfrac12$，對。
   
   (4) 先由上式算得
   $$z^2+z=(x^2-y^2+x)+i\,y(2x+1)=\left(\frac14-\frac{15}{4}-\frac12\right)+0i=-4,$$
   所以滿足的是
   $$z^2+z+4=0,$$
   不是 $z^2-z+4=0$，故錯。
   
   (5) 檢查 $-2、z、z^2$ 共線，等價於
   $$\frac{z^2-z}{z+2}\in\mathbb{R}.$$
   由 $z^2+z=-4$ 得
   $$z^2-z=-4-2z=-2(2+z),$$
   所以
   $$\frac{z^2-z}{z+2}=-2\in\mathbb{R},$$
   故對。
5. 5

   結論

   正確選項為 $(2)(3)(5)$。

關鍵觀念：#複數共線 #模與實部 #選項判析