114分科測驗數學甲 第8題 詳解

答案(2)(3)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   共線化簡

   本題考複數平面上的共線條件（選修數甲：複數的幾何）。三點 $1$、$z$、$z^3$ 共線 $\iff \dfrac{z^3-1}{z-1}$ 為實數。先因式分解 $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$，共線條件化為 $z^2+z+1\in\mathbb{R}$，再扣掉常數 $1$，等價於 $z^2+z$ 為實數。
2. 2

   定出 z

   設 $z=x+yi$，$y\ne 0$。$z^2+z=(x^2-y^2+x)+(2xy+y)i$，令虛部 $y(2x+1)=0$；因 $y\ne 0$，得 $x=-\dfrac12$。再由 $|z|=2$：$x^2+y^2=4$，$y^2=4-\dfrac14=\dfrac{15}{4}$，$y=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{2}$。又 $z+\bar z=2x=-1$、$z\bar z=|z|^2=4$，故 $z$ 滿足 $z^2+z+4=0$，即 $z^2=-z-4$，判選項時會反覆用到這條。
3. 3

   前三選項

   (1) 錯：$z\bar z=|z|^2=2^2=4$，不是 $2$——這是把 $|z|$ 與 $|z|^2$ 混用的陷阱。(2) 對：$z^3-z=z(z-1)(z+1)$，約去 $z-1$ 得 $\dfrac{z^3-z}{z-1}=z^2+z$，由步驟二其虛部 $y(2x+1)=0$，確為實數。(3) 對：實部 $x=-\dfrac12$。
4. 4

   後兩選項

   (4) 錯：由根與係數，$z$ 與 $\bar z$ 是 $t^2-(z+\bar z)t+z\bar z=t^2+t+4$ 的兩根，正確方程式是 $z^2+z+4=0$；選項把一次項寫成 $-z$，符號相反。驗算：$z=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt{15}}{2}i$ 時 $z^2=-\dfrac72-\dfrac{\sqrt{15}}{2}i$，代入 $z^2-z+4$ 得 $1-\sqrt{15}\,i\ne 0$。(5) 對：$z^2+2=(-z-4)+2=-(z+2)$，故 $\dfrac{z^2-(-2)}{z-(-2)}=-1$ 為實數，$-2$、$z$、$z^2$ 三點共線。
5. 5

   結論

   綜合以上，(1)、(4) 錯誤，(2)、(3)、(5) 正確。答案選 (2)(3)(5)。

關鍵觀念：#複數共線 #模與實部 #選項判析