114分科測驗數學甲 第11題 詳解

平行四邊形・向量面積 · 選填 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看題目在給什麼方向

   設平行四邊形的兩組邊方向分別為 $5x-y=0$ 的方向，和 $3x-2y=0$ 的垂直方向。
   
   $5x-y=0$ 的斜率是 $5$，所以這一組邊的方向向量可取 $(1,5)$。
   $3x-2y=0$ 的斜率是 $\frac{3}{2}$，垂直於它的直線斜率是 $-\frac{2}{3}$，所以另一組邊的方向向量可取 $(3,-2)$。
   
   因此，平行四邊形的兩邊就沿著 $(1,5)$ 與 $(3,-2)$ 這兩個方向。
2. 2

   把對角線交點當中心

   平行四邊形的兩條對角線互相平分，所以交點 $Q$ 是四個頂點的中心。
   已知 $\overrightarrow{PQ}=(10,-1)$，表示從頂點 $P$ 到中心 $Q$ 的位移是 $(10,-1)$。
   所以從 $Q$ 到 $P$ 的向量是 $\overrightarrow{QP}=(-10,1)$。
3. 3

   把中心到頂點拆成兩個邊向量

   設從 $Q$ 到相鄰兩邊方向的半邊向量分別為 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$，其中
   $$\mathbf{u}=a(1,5),\qquad \mathbf{v}=b(3,-2).$$
   因為頂點到中心的向量 $\overrightarrow{QP}$ 可視為兩半邊向量的和或差。取適當頂點可設
   $$\overrightarrow{QP}=\mathbf{u}+\mathbf{v}.$$
   因此要解
   $$a(1,5)+b(3,-2)=(-10,1).$$
   也就是
   $$\begin{cases}a+3b=-10\\5a-2b=1\end{cases}$$
4. 4

   聯立求出比例

   解方程組
   $$\begin{cases}a+3b=-10\\5a-2b=1\end{cases}$$
   由第一式得 $a=-10-3b$，代入第二式：
   $$5(-10-3b)-2b=1$$
   $$-50-15b-2b=1$$
   $$-17b=51\Rightarrow b=-3.$$
   再代回第一式：
   $$a+3(-3)=-10\Rightarrow a=-1.$$
   所以
   $$\mathbf{u}=-(1,5),\qquad \mathbf{v}=-3(3,-2).$$
   取長度時只看絕對值，故兩邊對應的向量長度分別為 $|a|\,\|(1,5)|$ 與 $|b|\,\|(3,-2)|$。
5. 5

   用底乘高算面積

   平行四邊形面積等於兩邊向量張成的面積：
   $$\text{面積}=\left|\det\begin{pmatrix}a&3b\\5a&-2b\end{pmatrix}\right|\times \text{方向基底的面積因子}.$$
   更直接地，因為整個平行四邊形是由 $(1,5)$ 與 $(3,-2)$ 這兩方向按比例 $|a|=1$、$|b|=3$ 放大而成，所以面積為
   $$|a b|\left|\det\begin{pmatrix}1&3\\5&-2\end{pmatrix}\right|.$$
   先算行列式：
   $$\left|\det\begin{pmatrix}1&3\\5&-2\end{pmatrix}\right|=|(-2)-15|=17.$$
   所以面積
   $$=|(-1)(-3)|\cdot 17=3\cdot 17=51.$$
   但這只是由中心到頂點的半平行四邊形面積；完整平行四邊形要乘上四倍的中心分割關係，故
   $$4\times 51=204.$$
   因此面積為 $204$。

關鍵觀念：#向量 #平行四邊形 #直線斜率