114分科測驗數學甲 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   邊向量定向

   本題考平面向量的分解與平行四邊形面積。先定出兩組邊的方向：與 $5x-y=0$ 平行的邊，方向向量取 $u=(1,5)$；與 $3x-2y=0$ 垂直的邊，方向就是該直線的法向量 $w=(3,-2)$（直線 $3x-2y=0$ 自身的方向是 $(2,3)$，與它垂直即取法向）。
2. 2

   半對角線

   設從頂點 $P$ 出發的兩鄰邊向量為 $s\,u$ 與 $t\,w$，則對角頂點為 $P+s\,u+t\,w$，而 $Q$ 是兩對角線交點、即對角線中點，故 $\overrightarrow{PQ}=\dfrac{s\,u+t\,w}{2}=(10,-1)$，先乘 $2$ 得 $s\,u+t\,w=(20,-2)$——$\overrightarrow{PQ}$ 只是半條對角線。
3. 3

   解出兩鄰邊

   $s(1,5)+t(3,-2)=(20,-2)$ 給出方程組 $s+3t=20$ 與 $5s-2t=-2$。第一式乘 $2$ 加第二式乘 $3$：$17s=34$，得 $s=2$；代回第一式得 $3t=18$，$t=6$。兩鄰邊向量為 $a=2u=(2,10)$、$b=6w=(18,-12)$。驗算：$(2,10)+(18,-12)=(20,-2)$，正確。
4. 4

   行列式求面積

   兩鄰邊 $a=(x_1,y_1)$、$b=(x_2,y_2)$ 張出的平行四邊形面積為 $|x_1y_2-x_2y_1|$，故面積 $=|2\cdot(-12)-18\cdot 10|=|-24-180|=204$。答案為 $204$。

關鍵觀念：#向量 #平行四邊形 #直線斜率

同主題一起複習：直線與圓錐曲線 → 向量 →