向量

高中・國中 · 歷屆 34 題 · 跨 15 份考卷

向量的內積、外積怎麼用？
這裡整理了111分科測驗、111學測、112分科測驗、112學測、113分科測驗、113學測、114分科測驗、114會考、114學測、115分科測驗、115學測共 34 題向量考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

向量內積×6 內積×5 三角形面積×3 向量比例×3 空間向量×3 方向角×2 外積×2 向量×2 向量加法×2 向量外積×2 向量投影×2 向量長度×2 向量運算×2 行列式×2 夾角×2 直線斜率×2 圓的性質×2 線性組合×2 餘弦定理×2 2階方陣 二次函數極值 三角比 三角形重心 三角函數 三階行列式 內積為零 分點公式 切線 方程求解 凸包 外積體積 平行六面體體積 平行四邊形 平行四邊形面積 平面方程 平面法向量 正方體 正多邊形 正弦定理 正射投影 立方體座標 立方體頂點 仿射坐標 向量分解 向量方向 向量夾角 向量垂直 向量法 向量表示 向量座標 向量幾何 向量與內積 向量線性組合 多選判斷 位移量 坐標向量 坐標判別 角平分線定理 法向量 直線方程 空間中的平面垂直 相似比 面積比 座標幾何 消失點 矩陣乘法 區間範圍 斜率 旋轉角度 最佳化 期望值 等腰三角形 絕對值不等式 絕對值方程 象限 象限判斷 資訊篩選 零空間 對數運算 線性變換 線段比例

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 線性變換・2階方陣111分科測驗數學甲 第6題
   關鍵是看出方陣等於 $2\sqrt3$ 乘上旋轉 $30^\circ$ 的方陣，長度與夾角就都一目了然。行列式最常漏掉 $b=-\sqrt3$ 的負號而算成 6；(5) 這類「保序」敘述要用具體點檢驗，旋轉會把靠近直線 $y=x$ 的點推過去，不能憑直覺說旋轉不改變大小關係。
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2. 向量線性組合・面積比111學測數學A 第9題
   最容易錯在 (5)：看到 $b-0.05<b$ 就以為面積一定變小，忽略了係數可能變成負數，$R$ 跑到 $\overline{AB}$ 另一側時距離要取絕對值。另一個坑是 (1)，檢查完 $Q$ 在內部就急著打勾，忘了 $R$ 也要看。做這類題先記住「係數的絕對值乘 $S$ 就是面積」，逐項套用即可。
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3. 平行六面體・最大體積111學測數學A 第17題
   最常見的猶豫是「不知道這三點是平行四邊形的哪三個頂點」，其實任三個頂點圍出的三角形都是它的一半，底面積唯一。另一個坑是把「與原點距離 1」的點只想成 $(1,0,0)$，它其實是 $xy$ 平面上的單位圓，要設成 $(\cos\theta,\sin\theta,0)$，再用 $\sqrt{a^2+b^2}$ 求最大值。
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4. 向量加法・象限判定111學測數學B 第4題
   最常見的錯誤是把 $\log\dfrac{1}{5}$ 當成正數，或把 $2^{-5}$ 與 $10^{-5}$ 的大小弄反，例如以為底數大的 $10^{-5}$ 比較大，於是縱坐標算成負而誤選第三象限。記得指數為負時底數越大值越小：$10^{-5}$ 遠小於 $2^{-5}$。另外向量題要用「終點 $=$ 起點 $+$ 向量」，不要把 $\overrightarrow{PQ}$ 的分量直接當成 $Q$ 的坐標。
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5. 向量內積・象限判定111學測數學B 第11題
   最常見的錯誤是憑「象限」判斷：以為 $\vec{v}$ 大概指向第一、四象限，那麼第二、三象限的點內積都應該是負的，於是把 (1)(4) 也選進去。但內積的正負看的是夾角是否超過 $90^{\circ}$，$C$ 緊靠 $y$ 軸正向、$F$ 緊靠 $y$ 軸負向，只要 $\vec{v}$ 稍微偏向 $B$ 或偏向 $G$，內積就會變正。判斷「一定」時，要能證明對所有合法的 $\vec{v}$ 都成立；判斷「不一定」時，只要舉出一個反例即可。
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6. 圓上兩點・向量內積111學測數學B 第14題
   最常見的錯誤是餘弦定理符號寫錯，把 $-2\,\overline{OA}\,\overline{OB}\cos\theta$ 寫成加號，會解出 $\cos\theta=-\dfrac{17}{49}$、內積 $-17$；也有人誤把 $\overline{AB}=8$ 當成直徑，直接用畢氏定理硬套。其實這題根本不用算出角度，記住 $|\vec{b}-\vec{a}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}$，把 $|\overrightarrow{AB}|=8$ 代進去一步就出來。
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7. 位移向量・抵達 x 軸112分科測驗數學甲 第1題
   最常見的錯誤是把「沿某向量的方向走 5 單位」看成「位移就是那個向量」，或誤以為 $(a,1)$ 的長度等於 5 而列出 $a^2+1=25$，得 $2\sqrt6$ 選了 (5)。正確做法是把位移寫成 $t(a,1)$，用「終點 $y$ 坐標為 0」定出 $t=2$，再用長度 5 解 $a$，最後代回檢查。
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8. 空間向量・三階行列式112分科測驗數學甲 第6題
   最常錯在 (2)(3)：以為「$t\ne0$」或「另有不平行的 $\vec{w'}$」能保證 $\vec u,\vec v$ 不平行，其實 $\vec u=\vec v=(1,0,0)$、$\vec w=(0,0,1)$ 一組反例就同時推翻兩者。先寫出 $\det A=t(ad-bc)$，每個選項都問：前提擋得住 $\vec u\parallel\vec v$ 嗎？
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9. 直角三角形外部等腰三角形・距離平方112分科測驗數學甲 第9題
   最容易錯在「外部」的方向：兩個等腰三角形都要畫在 $\triangle ABC$ 外側，若把 $M$ 放到與 $C$ 同側，距離就完全不同。坐標法要用 $C$ 代入直線 $AB$ 方程式判斷哪一側遠離 $C$；餘弦定理法的 $\angle MAN$ 是 $30^\circ+\angle A+30^\circ$，不是相減。
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10. 行列式性質・法向量投影112學測數學A 第5題
    這題若硬把行列式展開成含 a、b、c 的式子會算不出結果，因為題目根本沒給數值。關鍵是認出「第一列點外積」的結構，再用平面方程的法向量取代外積方向，於是五個行列式只差在第一列和法向量二、負三、五的內積。常見錯誤是忘了取絕對值而選成正數最大的，或是漏掉法向量係數的正負號。
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11. 期望值・向量內積112學測數學A 第6題
    這題若把二十一組配對一組一組列出來算內積，很容易漏掉或重複。比較穩的做法是先看出內積等於「同時為一的坐標軸數」，再按 x、y、z 三軸分別數有多少組配對同時為一，每軸都是四取二等於六。常見錯誤是分子只算了某幾軸，或分母誤用有順序的七乘六，分子分母不一致就會得到錯的分數。
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12. 向量分解・垂直條件求比例112學測數學A 第15題
    這題最容易錯在 D 點的位置：三倍 A D 等於八倍 B D 是向量等式，不是「A D 比 B D 等於八比三的內分點」。若誤用內分點公式把 O D 寫成十一分之三 a 加十一分之八 b，內積會恆為正，根本解不出垂直條件。正確做法是把兩個向量都改寫成以 O 為起點，再移項；算出來 D 在線段 A B 的延長線上。最後別忘了題目問的是長度比，要把平方比開根號。
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13. 圓與坐標軸相切・向量長度112學測數學B 第11題
    最容易漏掉的是「圓心在第四象限」這個分支：與兩軸相切只能推出 $|b|=a$，要用距離條件排除 $b=-a$，才能確定 (1)。(3) 也常判錯，$\overline{PA}=a+c$ 比半徑 $a$ 大，$P$ 必在圓外。(4)(5) 要真的解出 $\dfrac{a}{c}=3+2\sqrt2$ 再代入，別看到根號二就猜；用 $(a+c)^2=8ac$ 與 $(a-c)^2=4ac$ 相除是最快的驗算。
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14. 向量旋轉・內積計算112學測數學B 第15題
    最常見的錯誤是數錯轉了幾次：從 $\overrightarrow{P_2P_3}$ 到 $\overrightarrow{P_5P_6}$ 是在 $P_3$、$P_4$、$P_5$ 各轉一次，共 $3$ 次 $45°$，不是 $4$ 次 $60°$。用「第 $n$ 段方向角是 $\theta+15°(n-1)$」寫下來再相減最不會錯。內積用夾角的餘弦，長度 $2\times2=4$ 別漏乘，$4\cos45°=2\sqrt2$。
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15. 透視消失點・向量比例112學測數學B 第18題
    最常見的錯誤是被「$A_1B_3$ 與 $A_3B_1$ 的交點在 $A_2B_2$ 上」卡住，以為要先求 $A_2$；其實 $k$ 只和 $A_1$、$A_3$ 有關，那段是透視法的補充說明。向量方向也常寫反：$\overrightarrow{PA_1}$ 要用 $A_1$ 減 $P$。還要記得桿子與 $y$ 軸平行，同一根桿的上下兩點 $x$ 坐標相同，這是定出 $A_3$ 的關鍵。
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16. 內外積・模長113分科測驗數學甲 第6題
    第一步平方相加是全題命脈：$(ab\cos\theta)^2+(ab\sin\theta)^2=(ab)^2$，最容易錯在把外積 $(-1,0,3)$ 的長度心算成 $-1+0+3=2$ 拿去用；務必先老實算 $|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{1+0+9}=\sqrt{10}$，再用 $15+10=25$ 得 $ab=5$，後面四個選項才有地基。
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17. 外積・法向量113學測數學A 第2題
    外積公式的第二分量最容易帶錯符號：它是 $a_3b_1-a_1b_3$，順序與另外兩個分量相反。算完務必用內積驗證——外積結果與原來兩個向量的內積都必須是 0，不是 0 就是哪個分量帶錯了。
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18. 正六邊形・座標113學測數學A 第10題
    第一步的圖形判斷最容易錯：把交點 $P$ 想成六邊形斜邊與正方形邊的交叉處（那樣會穿進內部產生兩個交點），或把最右頂點的高度設錯。一邊在 $x$ 軸上的正六邊形，最右頂點高度恰為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}t$、與中心同高；這一步設錯，邊長就不是 4，後面全盤皆錯。
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19. 向量範圍・最大值113學測數學B 第4題
    最常見的錯誤是直接套三角不等式，把 $\sqrt{13}+\sqrt{2}$ 當成最大值而選 (5)；等號需要兩向量同方向，但 $\overrightarrow{AB}$ 的分量各限制在 $[-1,1]$，最長的 $(\pm1,\pm1)$ 都不與 $(-2,3)$ 平行。正確做法是回到分量：$x$、$y$ 分量分別取極值，再驗證能同時發生，答案才是 5。
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20. 向量分點・線性組合113學測數學B 第15題
    最常見的錯誤是方向弄反：$\overrightarrow{RQ_2}$ 與 $\overrightarrow{Q_2R}$ 差一個負號，漏掉就會寫成 $3\overrightarrow{P_1Q_1}+6\overrightarrow{P_2Q_2}$。另一個錯誤是把係數寫成 4 與 7，忘了 $\overrightarrow{Q_1R}$ 是整段減掉前面一小段，應為 3 與 6。抓住「經過公共點 $R$ 轉接」，最後代簡單坐標驗算。
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21. 立方體・垂直面114分科測驗數學甲 第2題
    頂點對應關係擺錯是全題最大殺手：只要把 $H$ 對到 $B$ 或 $C$ 的正上方，整組坐標全錯、後面白算。動筆第一步先寫死對應 $A\to E$、$B\to F$、$C\to G$、$D\to H$ 再設坐標；外積算完務必把法向量與平面上兩向量做內積，各驗一次是 $0$ 才往下走。
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22. 平行四邊形・向量面積114分科測驗數學甲 第11題
    兩個高頻錯點：一是把「與 $3x-2y=0$ 垂直」的邊方向誤取成 $(2,3)$——那是平行方向，垂直應取法向量 $(3,-2)$；二是忘記 $\overrightarrow{PQ}$ 只是半條對角線，直接令 $s\,u+t\,w=(10,-1)$，兩邊長各少一半，面積會算成 $51$，恰為正解的四分之一。
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23. 三角形重心與交點・面積比114會考數學 第22題
    三個滑倒點：$AE:AB$ 要用 $3:7$ 而不是照抄 $3:4$；$\triangle ADG$ 是 $\triangle AEG$ 的 $\dfrac{5}{2}$ 倍——$\triangle AEG$ 對應的底是 $2$ 份的 $\overline{EG}$，份數接反就會算出 $\dfrac{5}{21}$ 選到 (D)；重心是把三角形「三等份」，別跟其他分割性質混用。每寫一個比，先確認「誰對誰」再動筆。
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24. 垂直向量・平行六面體114學測數學A 第6題
    第三條關係一定要用「相加」湊：$(\vec{u}-\vec{v})+(\vec{v}-\vec{w})=\vec{u}-\vec{w}$，中間的 $\vec{v}$ 才會消掉；手快用相減會得 $(3,-3,-3)$，聯立解出負的平方長——一出現負值就是這步列錯的警訊。另外解完平方長記得開根號，拿 $4$ 直接當 $|\vec{v}|$ 會誤選 (5)。
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25. 角平分・座標114學測數學A 第11題
    解聯立時最容易把 $\overrightarrow{AP}$ 的兩個係數寫反成 $\dfrac37\overrightarrow{AB}+\dfrac27\overrightarrow{AC}$——選項 (2) 正是為此設計的陷阱，而且係數一反，(4)(5) 會跟著全錯。解出後務必代回檢查：$\overrightarrow{AC}+\dfrac47(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$ 應與 $\overrightarrow{AP}$ 一致，一步就能抓出對調。
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26. 向量線性組合・凸區域判別114學測數學B 第9題
    最常見的錯誤是只檢查「解得出來」而忘了檢查 $0\le\alpha\le1$、$0\le\beta\le1$，因而把 (5) 也選進去；只要 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 不平行，任何 $\overrightarrow{OP}$ 都解得出唯一的 $\alpha,\beta$，題目的重點就在範圍限制。幾何上 $P$ 必須落在以 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 為鄰邊的平行四邊形內，(5) 的 $P$ 在 $\overrightarrow{OB}$ 延長線上，超過了 $B$ 點。
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27. 向量和差關係判斷115分科測驗數學甲 第8題
    選項 (3)(4) 最容易「憑感覺」判斷：看到 $\vec u\cdot\vec v=-1\neq0$ 就以為不會平行，或看到 $|\vec u+\vec v|=2$ 就以為 $|\vec v|\le2$。關鍵是先從 (1) 看出 $\vec v$ 的終點在圓心 $(-1,-1)$、半徑 $1$ 的圓上，把 $\vec v$ 參數化後，(3)(4) 都能直接舉出反例，(5) 也能算出面積的最大值 $2\sqrt2$。向量題問「可不可能」，先找出所有可能的位置，再舉例或求極值。
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28. 線性方程・零空間115學測數學A 第5題
    看到 $A(1,0,-1)^T=(0,0,0)^T$ 要馬上想到「解不唯一」：特解加上任意倍的 $(1,0,-1)^T$ 都還是解。只解出 $(1,0,1)^T$ 一個就作答會誤選 (1)。另外垂直條件要用內積翻成「第二分量為 $0$」再檢查，不要憑感覺以為它會刪掉大部分的解。
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29. 平行四邊形・面積比115學測數學A 第10題
    相似比最容易接反：由面積 $3:5$ 得 $BE:ED=3:5$，對應的是 $AB:DC=3:5$——是 $DC$ 比較長，$\overrightarrow{DC}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}$。一旦反寫成 $\dfrac{3}{5}$ 倍，$C$ 點坐標、四邊形面積、$BC$ 長度會連環全錯，(3)(4)(5) 三個選項一起判歪。
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30. 向量・垂直條件115學測數學A 第14題
    配方時負號最容易吃掉補項：$-b^2+b$ 提出負號變 $-\left(b^2-b\right)$，括號內補的 $\dfrac{1}{4}$ 帶著負號移出去要變成 $+\dfrac{1}{4}$；漏改號寫成 $-\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}$，最大值就會答成 $-\dfrac{1}{4}$。配方完把 $b=\dfrac{1}{2}$ 代回原式核對一次。
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31. 三角比・向量比115學測數學A 第17題
    兩個易錯點：其一，$\angle BDC$ 是 $\triangle ACD$ 的外角，等於 $90^\circ+\theta$，寫成 $90^\circ-\theta$ 整題斜掉（幸好 $\sin(90^\circ+\theta)=\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$，這題僥倖救回，觀念仍要弄對）；其二，三倍角公式「係數 $3$ 放前面的是 $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$」，與 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ 背反的話，$\sin3\theta$ 會算成 $-\dfrac{11}{16}$ 之類的錯值，$k$ 跟著全錯。
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32. 面積・直接叉積115學測數學A 第18題
    看到四筆條件就想「全部都要用上」是本題最大的陷阱：求 $ABCD$ 的面積只需要 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}$ 這一筆。先認清目標平行四邊形是由哪兩個向量張出，再取那一筆外積算長度；急著把 $\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}$ 的長度 $2\sqrt{5}$ 當答案，就會誤選 (1)。
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歷屆考題與答案