向量

高中 · 歷屆 12 題 · 跨 5 份考卷

向量的內積、外積怎麼用？
這裡整理了113分科測驗、113學測、114分科測驗、114學測、115學測共 12 題向量考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

三角形面積×2 向量×2 向量內積×2 向量外積×2 直線斜率×2 空間向量×2 三角比 二次函數極值 內積 向量垂直 向量座標 向量比例 向量法 向量與內積 向量長度 外積 夾角 平行六面體體積 平行四邊形 平行四邊形面積 平面法向量 座標幾何 斜率 正多邊形 正弦定理 正方體 相似比 矩陣乘法 空間中的平面垂直 立方體座標 角平分線定理 資訊篩選 零空間

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 內外積・模長113分科測驗數學甲 第6題
   把外積當成只有長度，忽略分量可直接列方程
   看這題的逐步詳解 →
2. 外積・法向量113學測數學A 第2題
   最容易錯在把外積方向誤看成某條邊本身；記住它是垂直於兩向量張成的平面，不是沿著其中一邊。
   看這題的逐步詳解 →
3. 正六邊形・座標113學測數學A 第10題
   最容易把六邊形的「邊長、中心高、頂點高」混在一起，看到 $2\sqrt{3}$ 就直接猜邊長，沒有先分清楚是中心到邊還是點到 $x$ 軸的距離。
   看這題的逐步詳解 →
4. 立方體・垂直面114分科測驗數學甲 第2題
   最容易錯在只看「有沒有共線邊」就亂猜平面垂直，卻沒先找法向量；另外很多人會把「平面垂直平面」誤判成「兩平面內有兩條邊互相垂直」就足夠，其實要看的是整個平面的方向，最好直接用向量或法向量檢查。
   看這題的逐步詳解 →
5. 平行四邊形・向量面積114分科測驗數學甲 第11題
   最容易錯在把 $Q$ 當成普通點，忘了它是對角線交點、也就是中心；另外常把「垂直」的斜率寫成 $\frac{2}{3}$，少了負號，或是算出半個平行四邊形後忘記乘回完整面積。
   看這題的逐步詳解 →
6. 垂直向量・平行六面體114學測數學A 第6題
   最大的坑是**看到「平行六面體體積」就想去算純量三重積**——但題目只給差向量，硬算會卡住。關鍵是先用「互相垂直」把 $|\vec{u}-\vec{v}|^2$ 拆成 $|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2$（因為內積項是 0）。另一個常見錯誤是只用題目給的兩個差向量就想解三個未知數——要記得把兩式相加湊出 $\vec{u}-\vec{w}$ 這第三條關係。
   看這題的逐步詳解 →
7. 角平分・座標114學測數學A 第11題
   最容易把角平分線定理的比值寫反，或把 $CP:PD$ 誤看成 $3:4$；另外向量式中 $P$ 的係數常和 $C,D$ 端點搞混，會直接導致 (2) 算錯。
   看這題的逐步詳解 →
8. 線性方程・零空間115學測數學A 第5題
   只找到一個特解就以為唯一，卻忘了零空間含非零向量時，解會變成一整族。
   看這題的逐步詳解 →
9. 平行四邊形・面積比115學測數學A 第10題
   最容易錯在把梯形對角線交點比和面積比混淆，或忘了先用 $AB\parallel DC$ 設出比例。
   看這題的逐步詳解 →
10. 向量・垂直條件115學測數學A 第14題
    最容易錯在把「與直線垂直」誤看成 $ab=-1$ 或直接套斜率負倒數卻沒先確認向量和直線的關係；這題要先用直線方向向量 $(1,b)$，再做內積為零。
    看這題的逐步詳解 →
11. 三角比・向量比115學測數學A 第17題
    最容易錯在把 $\angle BDC$ 誤看成 $90^\circ-x$，或忘記 $\angle BCD=2x$ 後要用正弦定理連到 $BC/BD$。
    看這題的逐步詳解 →
12. 面積・直接叉積115學測數學A 第18題
    把三個叉積全部用上、繞去算體積
    看這題的逐步詳解 →

歷屆考題與答案