113分科測驗數學甲 第6題 詳解

答案(3)(4)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   內外積搭配

   本題考空間向量內積與外積的整體關係，鑰匙是把兩個條件的「長度」擺在一起看。設 $|\vec{u}|=a$、$|\vec{v}|=b$、夾角為 $\theta$，則 $\vec{u}\cdot\vec{v}=ab\cos\theta=\sqrt{15}$；外積長 $|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+3^2}=\sqrt{10}=ab\sin\theta$。兩式平方相加：$(ab)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=15+10=25$，得 $ab=5$。這個數字是全題的樞紐。
2. 2

   夾角與垂直

   選項(1)：由 $ab\cos\theta=\sqrt{15}>0$ 與 $ab\sin\theta=\sqrt{10}>0$ 知 $\theta$ 為銳角，且 $\tan\theta=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}<1$，故 $\theta<\dfrac{\pi}{4}$，(1) 錯誤。會圈 (1) 的人多半覺得外積長 $\sqrt{10}$「不小」就猜夾角大，少了拿 $\tan\theta$ 與 $1$ 比大小這一步。選項(2)：外積 $\vec{u}\times\vec{v}$ 必同時垂直 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$，但 $(1,0,-1)\cdot(-1,0,3)=-1+0-3=-4\neq 0$，$(1,0,-1)$ 與 $(-1,0,3)$ 根本不垂直，(2) 錯誤。
3. 3

   算幾不等式

   選項(3)：由算幾不等式，$|\vec{u}|+|\vec{v}|=a+b\ge 2\sqrt{ab}=2\sqrt{5}$，且 $a=b=\sqrt{5}$ 時等號可成立，(3) 正確。
4. 4

   唯一性論證

   選項(4)：因 $ab=5$，$\vec{v}$ 必為非零向量。設 $\vec{u}_1$、$\vec{u}_2$ 對同一個 $\vec{v}$ 都滿足題設，令 $\vec{w}=\vec{u}_1-\vec{u}_2$，兩組條件相減得 $\vec{w}\cdot\vec{v}=0$ 且 $\vec{w}\times\vec{v}=\vec{0}$。外積為零向量表示 $\vec{w}$ 與 $\vec{v}$ 平行（或 $\vec{w}=\vec{0}$），內積為零又表示 $\vec{w}$ 與 $\vec{v}$ 垂直；對非零的 $\vec{v}$，同時平行又垂直的向量只有零向量，故 $\vec{u}_1=\vec{u}_2$，$\vec{u}$ 被唯一決定，(4) 正確。
5. 5

   根可對調

   選項(5)：設 $|\vec{u}|+|\vec{v}|=s$，配上 $ab=5$，則 $a$、$b$ 是 $t^2-st+5=0$ 的兩根。只要 $s>2\sqrt{5}$，兩根相異，而長度分配 $(a,b)$ 與 $(b,a)$ 都能配出滿足題設的向量組——把兩向量的長度對調、方向重新配置即可，$|\vec{v}|$ 無法唯一決定，(5) 錯誤。綜上，答案選 (3)(4)。

關鍵觀念：#內積 #外積 #夾角 #向量座標

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