113分科測驗數學甲 第6題 詳解

內外積・模長 · 多選 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   觀念先定位

   這題同時給了內積 $\vec{u}\cdot\vec{v}=\sqrt{15}$ 和外積 $\vec{u}\times\vec{v}=(-1,0,3)$，所以能立刻得到兩件事：一是兩向量夾角的餘弦，二是兩向量所張平行四邊形面積。再配合 $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$ 與 $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$，就能把模長關係與選項逐一判斷。
2. 2

   先算夾角與模長乘積

   先由外積長度得
   $|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+3^2}=\sqrt{10}$。
   因此
   $|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta=\sqrt{10}$，
   又因為
   $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta=\sqrt{15}$。
   兩式相除得
   $\cot\theta=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$，
   所以
   $\tan\theta=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$。
   因為 $\theta\in[0,\pi]$ 且內積為正，所以 $\theta$ 為銳角，且滿足 $\theta<\dfrac{\pi}{4}$ 不可能；實際上 $\tan\theta<1$，故 $\theta<\dfrac{\pi}{4}$。
3. 3

   判斷選項一到三

   (1) 由上一步得 $\theta<\dfrac{\pi}{4}$，所以「大於 $\dfrac{\pi}{4}$」錯。
   
   (2) 若 $\vec{u}=(1,0,-1)$，則
   $\vec{u}\cdot\vec{v}=\sqrt{15}$ 會給出 $v_x-v_z=\sqrt{15}$。
   又
   $\vec{u}\times\vec{v}=(-v_y,\,v_x+v_z,\,v_y)=(-1,0,3)$，
   因此 $v_y=1$ 與 $v_y=3$ 同時成立，矛盾，所以 $\vec{u}$ 不可能是 $(1,0,-1)$，故錯。
   
   (3) 由柯西不等式，
   $(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2\ge 2|\vec{u}||\vec{v}|$。
   而
   $|\vec{u}||\vec{v}|=\sqrt{(\vec{u}\cdot\vec{v})^2+|\vec{u}\times\vec{v}|^2}
   =\sqrt{15+10}=5$。
   所以
   $(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2\ge 10$，
   即
   $|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge \sqrt{10}$。
   但題目要證 $\ge 2\sqrt{5}$，而 $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，還要更強。改用
   $|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\ge 2|\vec{u}||\vec{v}|=10$，故
   $|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge \sqrt{(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2)+2|\vec{u}||\vec{v}|}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
   所以此項對。
4. 4

   判斷選項四與五

   (4) 已知 $\vec{v}$ 後，由
   $\vec{u}\cdot\vec{v}=\sqrt{15}$ 與 $\vec{u}\times\vec{v}=(-1,0,3)$
   可得三個線性方程：
   $\vec{u}\cdot\vec{v}=\sqrt{15}$，
   $(\vec{u}\times\vec{v})_1=-1$，
   $(\vec{u}\times\vec{v})_3=3$。
   這三式正好把 $\vec{u}$ 的三個分量唯一解出，因此 $\vec{u}$ 可被唯一決定，故對。
   
   (5) 只知道 $|\vec{u}|+|\vec{v}|$，只是一個純量總和，無法唯一分出兩個各自的模長。因為滿足同一總和的 $(|\vec{u}|,|\vec{v}|)$ 有無限多組，例如 $a+b=c$ 中只知道 $c$，無法唯一決定 $a$ 與 $b$。故錯。
5. 5

   收束答案

   綜合判斷：
   (1) 錯，(2) 錯，(3) 對，(4) 對，(5) 錯。
   所以正確選項是 $(3)(4)$，與官方答案一致。

關鍵觀念：#內積 #外積 #夾角 #向量座標