113分科測驗數學甲 第5題 詳解

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逐步解析

1. 1

   考點與切入

   本題考實係數多項式的共軛虛根定理與餘式定理。切入：虛根成對給出一個二次因式，餘式條件給出兩個函數值，三次式剩下的未知量（首項係數與實根）就能全部解出，再逐選項判定。
2. 2

   共軛虛根

   實係數多項式的虛根必成共軛對：由 $f(-2-3i)=0$ 得 $f(-2+3i)=0$。共軛只把虛部變號，另一根是 $-2+3i$ 而不是 $2+3i$，故 (1) 錯誤。兩虛根組出二次因式 $(x+2)^2+9=x^2+4x+13$，可設 $f(x)=k(x-r)(x^2+4x+13)$，其中 $r$ 為實根、$k$ 為三次項係數。
3. 3

   餘式定理

   $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$。$f(x)$ 除以它的餘式是常數 $18$，寫成 $f(x)=(x+2)(x-1)q(x)+18$；代 $x=-2$ 與 $x=1$ 時前項為零，得 $f(-2)=18$ 且 $f(1)=18$，故 (2) 正確。
4. 4

   解出 f

   代入設式：$f(-2)=k(-2-r)\times 9=18$ 得 $k(-2-r)=2$；$f(1)=k(1-r)\times 18=18$ 得 $k(1-r)=1$。兩式相減：$-3k=1$，$k=-\dfrac{1}{3}$；代回 $k(1-r)=1$ 得 $1-r=-3$、$r=4$。故 $f(x)=-\dfrac{1}{3}(x-4)(x^2+4x+13)$。驗算：$f(-2)=-\dfrac{1}{3}\times(-6)\times 9=18$、$f(1)=-\dfrac{1}{3}\times(-3)\times 18=18$，皆吻合。
5. 5

   判斷後三項

   (3) 三次項係數 $k=-\dfrac{1}{3}<0$，正確。(4) 因式 $x^2+4x+13$ 的判別式 $16-52<0$ 無實根，$f(x)=0$ 的實根只有 $x=4$，恰為一個正實根，正確。(5) 展開 $f(x)=-\dfrac{1}{3}(x^3-3x-52)$，$f''(x)=-2x=0$ 得 $x=0$，對稱中心為 $\left(0,\dfrac{52}{3}\right)$，落在 $y$ 軸正向上；象限不含坐標軸，它不在第一象限，錯誤。
6. 6

   選出答案

   整理：(1) 錯誤、(2) 正確、(3) 正確、(4) 正確、(5) 錯誤。答案選 (2)(3)(4)。

關鍵觀念：#三次多項式 #共軛複數根 #餘式定理 #函數圖形對稱中心

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