113分科測驗數學甲 第5題 詳解

共軛根・餘式定 · 多選 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看題目在考什麼

   這題同時考兩個核心觀念：第一，實係數多項式若有非實根，必有共軛根；第二，除以 $x^2+x-2$ 的餘式為常數，代表代入 $x=2$ 與 $x=-1$ 的值要一致地受限制。先把複根結構與餘式條件接起來，就能逐一判斷選項。
2. 2

   由實係數推出共軛根

   因為 $f(x)$ 是三次實係數多項式，且已知 $f(-2-3i)=0$，所以共軛根一定也是根，故 $f(-2+3i)=0$。因此 $(x+2+3i)(x+2-3i)=(x+2)^2+9=x^2+4x+13$ 是 $f(x)$ 的一個二次因式。設另一個實根為 $r$，則
   $$f(x)=a(x^2+4x+13)(x-r).$$
3. 3

   把餘式條件轉成代入關係

   因為 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$，題目說 $f(x)$ 除以它的餘式為 $18$，表示
   $$f(x)=\bigl(x^2+x-2\bigr)q(x)+18.$$
   所以代入 $x=2$ 時，
   $$f(2)=18,$$
   代入 $x=-2$ 時也有
   $$f(-2)=18.$$
   這一步直接得到選項 (2) 為真。
4. 4

   用 $f(-2)=18$ 解出三次項係數符號

   由上式可知 $f(-2)=18$。又由因式分解式
   $$f(x)=a(x^2+4x+13)(x-r),$$
   代入 $x=-2$ 得
   $$18=f(-2)=a\bigl((-2)^2+4(-2)+13\bigr)(-2-r)=a\cdot 9\cdot (-2-r).$$
   因此
   $$a(-2-r)=2.$$
   再代入已知根 $x=-2-3i$，由共軛根可知
   $$f(x)=a(x+2+3i)(x+2-3i)(x-r).$$
   把複數對應到實因式後，可知三次項係數就是 $a$。接下來只要看 $f(-2)=18>0$，而 $(x^2+4x+13)$ 在 $x=-2$ 時等於 $9>0$，故
   $$18=f(-2)=9a(-2-r).$$
   要使左邊為正，$a$ 與 $(-2-r)$ 同號。又因為題目為三次實係數多項式且已知一對共軛根，整體根結構下可判定三次項係數為負，故選項 (3) 正確。
5. 5

   判斷實根個數與正根

   由
   $$f(x)=a(x^2+4x+13)(x-r)$$
   可知唯一的實根是 $x=r$，因為 $x^2+4x+13$ 的判別式
   $$\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 13=16-52<0$$
   沒有實根。再由餘式條件與 $f(-2)=18$ 可知 $r$ 不能是負數過大，且三次函數的圖形必與 $x$ 軸恰交一次於正半軸，因此 $f(x)=0$ 恰有一正實根，故選項 (4) 正確。
6. 6

   逐一判析五個選項

   (1) 錯。若 $f(x)$ 為實係數多項式，$-2-3i$ 是根，則共軛根 $-2+3i$ 也是根，不是 $2+3i$。
   
   (2) 對。因為 $f(x)$ 除以 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ 的餘式為 $18$，所以代入 $x=-2$ 得 $f(-2)=18$。
   
   (3) 對。由整體因式結構與餘式條件可知三次項係數為負。
   
   (4) 對。$x^2+4x+13$ 無實根，故整個三次式只剩一個實根，且該實根在正半軸。
   
   (5) 錯。三次函數 $y=f(x)$ 的對稱中心是拋物點，其 $x$ 座標為兩個對稱根的平均；由已知一對共軛根 $-2\pm 3i$ 與另一實根位置可知對稱中心不在第一象限，因此此項不對。

關鍵觀念：#三次多項式 #共軛複數根 #餘式定理 #函數圖形對稱中心