113分科測驗數學甲 第4題 詳解

答案(1)(4)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   考點與切入

   本題考獨立重複試驗與幾何分布。每次抽獎中獎率 $p=0.1$、沒中率 $0.9$，各次獨立；五個選項全都能化成 $0.9^n$ 的計算，逐一判定即可。
2. 2

   判選項 (1)

   首次中獎所需的抽獎次數 $X$ 服從幾何分布，期望值 $E(X)=\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{0.1}=10$。(1) 正確。
3. 3

   判選項 (2)

   抽兩次至少中一次的機率用餘事件算：$1-0.9^2=1-0.81=0.19$，不是 $0.2$。把兩次的 $0.1$ 直接相加，等於把「兩次都中」多算了一次。(2) 錯誤。
4. 4

   判選項 (3)

   抽 10 次都沒中的機率是 $0.9^{10}$。取對數估計：$\log 0.9^{10}=10(2\log 3-1)\approx 10\times(-0.0458)=-0.458$，故 $0.9^{10}\approx 10^{-0.458}\approx 0.35$，遠大於抽 1 次就中的 $0.1$。(3) 錯誤。
5. 5

   判 (4) 與 (5)

   存 $n$ 個代幣全抽完，至少中一次的機率為 $1-0.9^n$。(4) 要 $1-0.9^n>0.9$，即 $0.9^n<0.1$；取對數得 $n(2\log 3-1)<-1$，除以負數 $2\log 3-1$ 後不等號變向：$n>\dfrac{1}{1-2\log 3}\approx\dfrac{1}{0.0458}\approx 21.8$，最小整數為 $22$，(4) 正確。(5) 對任何有限的 $n$，$1-0.9^n<1$ 恆成立，機率永遠到不了 $1$，(5) 錯誤。
6. 6

   選出答案

   整理：(1) 正確、(2) 機率是 $0.19$ 錯誤、(3) $0.35>0.1$ 錯誤、(4) 正確、(5) 錯誤。答案選 (1)(4)。

關鍵觀念：#幾何分配 #獨立事件 #補事件

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