113分科測驗數學甲 第4題 詳解

機率・期望值 · 多選 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先看考點

   這題在考兩個核心：第一是每次抽獎獨立、成功率固定為 $\dfrac{1}{10}$；第二是「至少一次中獎」要用補事件來算。選項中又混進期望值與機率比較，必須分別處理。
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   判斷（１）

   令 $X$ 表示「中獎一次所需要的抽獎次數」。因為每次中獎機率為 $p=\dfrac{1}{10}$，所以 $X$ 服從幾何分配，其期望值為
   $$E(X)=\frac{1}{p}=\frac{1}{1/10}=10。$$
   因此（１）正確。
3. 3

   判斷（２）

   「抽獎兩次就中獎一次以上」表示兩次之中至少中一次。用補事件計算：
   $$P(\text{至少中一次})=1-P(\text{兩次都沒中})=1-\left(\frac{9}{10}\right)^2=1-\frac{81}{100}=\frac{19}{100}=0.19。$$
   題目說是 $0.2$，不相等，所以（２）錯誤。
4. 4

   判斷（３）

   抽獎十次都沒中獎的機率為
   $$\left(\frac{9}{10}\right)^{10}。$$
   抽獎一次就中獎的機率為 $\dfrac{1}{10}=0.1$。比較兩者：
   $$\left(\frac{9}{10}\right)^{10}\approx 0.3487>0.1。$$
   所以「十次都沒中獎的機率小於一次就中獎的機率」不對，（３）錯誤。
5. 5

   判斷（４）

   若某甲存 $n$ 個代幣，則至少中一次的機率為
   $$1-\left(\frac{9}{10}\right)^n。$$
   題目要這個機率大於 $0.9$，所以
   $$1-\left(\frac{9}{10}\right)^n>0.9$$
   $$\left(\frac{9}{10}\right)^n<0.1。$$
   逐次檢查整數次方：
   $$\left(\frac{9}{10}\right)^{21}\approx 0.1094>0.1,$$
   $$\left(\frac{9}{10}\right)^{22}\approx 0.0985<0.1。$$
   因此最少要 $22$ 個代幣，才能使中獎機率大於 $0.9$，（４）正確。
6. 6

   判斷（５）

   若存很多代幣，至少一次中獎的機率為
   $$1-\left(\frac{9}{10}\right)^n。$$
   當 $n$ 越來越大時，$\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\to 0$，所以此機率只會趨近於 $1$，但對任何有限的 $n$，都還是小於 $1$。因此不能說「可以保證中獎的機率為 $1$」，（５）錯誤。

關鍵觀念：#幾何分配 #獨立事件 #補事件