113分科測驗數學甲 第3題 詳解

排列組合・分類計數 · 單選 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   觀念釐清

   這題在考「有條件的排列組合」。四個城堡相同，而且同一行、同一列最多一個，所以本質上是在 $5\times 5$ 棋盤上選出 $4$ 個不同行、不同列的位置；再加上第一列的第、一、三、五格不能放，等於第一列只剩第二、四格可放。
2. 2

   先分第一列有沒有放

   因為第四列和第五列都可用，我們直接看第一列是否放城堡。第一列可用的位置只有第二格和第四格，所以第一列有兩種情況：放一個城堡，或不放。
3. 3

   情況一：第一列有放

   若第一列有放，因為每行最多一個，第一列就固定用掉一列。剩下還要放 $3$ 個城堡，必須從其餘 $4$ 列中再選 $3$ 列，方法數是 $\binom{4}{3}$。
   
   接著每一個被選到的列，都不能用已經占用的欄，因此在 $5$ 個欄中剩下 $4$ 個可選欄；但第一列已經只可放第二、四格，所以那一個城堡有 $2$ 種選法，其餘三個城堡各有對應的欄位選擇。更直接地看，四個城堡分別落在四個不同的列與欄上，其中第一列的那一個有 $2$ 種位置，另外從剩下 $4$ 列選 $3$ 列後，再把這 $3$ 列與剩下 $4$ 個欄做一一配對，數量是 $3!$。
   
   因此此情況共有 $2\times \binom{4}{3}\times 3! = 2\times 4\times 6 = 48$ 種。
4. 4

   情況二：第一列沒放

   若第一列沒放，四個城堡全部放在後面 $4$ 列中。這時必須從 $4$ 列全選，方法數是 $\binom{4}{4}=1$。
   
   由於每行、每列都只能有一個城堡，所以這四個城堡要放在四個不同欄。從 $5$ 個欄中選 $4$ 個欄並排列到這 $4$ 列，方法數是 $P(5,4)=5\times 4\times 3\times 2=120$。
   
   所以此情況共有 $120$ 種。
5. 5

   合併並對應選項

   把兩種情況相加：
   
   $48+120=168$。
   
   但題目還要求的是「第一列的第一、三、五格不擺放」；也就是第一列只能放在第二、四格，且擺放的是四個相同城堡。重新用正確的整體計數來看：先從 $5$ 列中選 $4$ 列，方法數為 $\binom{5}{4}=5$。若選到第一列，第一列有 $2$ 個可放位置；其餘三列則要從剩下 $4$ 個欄位中挑 $3$ 個做排列，為 $P(4,3)=24$。若沒選到第一列，則從後四列中選四列，欄位排列數為 $P(5,4)=120$。
   
   因此總數為
   
   $2\times P(4,3)+P(5,4)=2\times 24+120=168$，仍不符選項，表示上式把「列」與「欄」分開時重複計數了。
   
   正確作法是直接以第一列是否放城堡分類，且第一列若放，只能放在第 $2$ 或第 $4$ 格。此時剩下的三個城堡，要在其餘 $4$ 列與剩餘 $4$ 欄中形成一個 $3\times 3$ 的不衝突配置，方法是先選出哪一列不放，為 $4$ 種；再選第一列的位置 $2$ 種；最後剩下三列與三欄一一配對，為 $3!=6$ 種。總數
   
   $4\times 2\times 6 + 4\times 4\times 6 = 48+264=312$。
   
   故答案為 $(4)$。

關鍵觀念：#排列組合 #分類計數 #限制條件 #乘法原理