113分科測驗數學甲 第3題 詳解

答案(4) 312看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   考點與切入

   本題考互不相攻的棋子計數：每列、每行至多一個城堡，等於「選列、選行、再一對一配對」。第一列只剩第二、四行（直行）可放，最有效率的切入是對第一列分兩類：完全不放，或放在第二、四行之一。
2. 2

   第一列不放

   4 個城堡全放在第二至五列，恰好每列一個；行的部分要從 5 行中取 4 行依序分給這四列，共 $5\times 4\times 3\times 2=120$ 種。
3. 3

   第一列放一個

   第一列的城堡有第二、四行共 2 種放法。剩下 3 個城堡放在第二至五列中的某 3 列，選列有 $C^{4}_{3}=4$ 種；行則從剩下的 4 行中取 3 行依序排給選出的三列，有 $4\times 3\times 2=24$ 種。此類共 $2\times 4\times 24=192$ 種。
4. 4

   合併並驗算

   兩類相加：$120+192=312$。用排容法驗算：無限制時共 $C^{5}_{4}\times C^{5}_{4}\times 4!=600$ 種，其中第一列的城堡落在第一、三、五格的有 $3\times C^{4}_{3}\times(4\times 3\times 2)=288$ 種，$600-288=312$，兩條路一致。
5. 5

   選出答案

   答案選 (4)。最誘答的是 (3) 288：走排容法的人算出「第一列落在禁格」的 288 種後，忘了拿總數 600 去扣，直接把違規的擺法數當成答案交卷。

關鍵觀念：#排列組合 #分類計數 #限制條件 #乘法原理

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