113分科測驗數學甲 第2題 詳解

答案(2) $(-3\sqrt{5},0)$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   考點與切入

   本題考橢圓標準式與伸縮變換。最有效率的路線：先用「伸縮後通過 $(18,0)$」這個條件反求 $a$，再回到原橢圓 $\Gamma$，用 $c^2=a^2-b^2$ 定出焦點位置。
2. 2

   寫伸縮方程式

   設 $(x,y)$ 在 $\Gamma$ 上，伸縮後的對應點為 $(X,Y)=(2x,3y)$，即 $x=\dfrac{X}{2}$、$y=\dfrac{Y}{3}$。代回 $\Gamma$ 的方程式得新圖形：$\dfrac{X^2}{4a^2}+\dfrac{Y^2}{9\times 36}=1$，即 $\dfrac{X^2}{4a^2}+\dfrac{Y^2}{324}=1$。
3. 3

   代點求 a

   把 $(18,0)$ 代入新方程式：$\dfrac{18^2}{4a^2}=1$，即 $4a^2=324$，得 $a^2=81$、$a=9$。檢驗：此時新圖形為 $\dfrac{X^2}{324}+\dfrac{Y^2}{324}=1$，是半徑 $18$ 的圓，確實通過 $(18,0)$。
4. 4

   求出焦點

   $\Gamma:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{36}=1$。因 $81>36$，長軸在 $x$ 軸上，$c^2=a^2-b^2=81-36=45$，$c=3\sqrt{5}$，焦點為 $(\pm 3\sqrt{5},0)$。
5. 5

   選出答案

   $(-3\sqrt{5},0)$ 是焦點之一，答案選 (2)。最誘答的是 (4) $(-3\sqrt{13},0)$：誤用雙曲線的 $c^2=a^2+b^2$，算成 $81+36=117=9\times 13$，開根號得 $3\sqrt{13}$；橢圓的焦點公式是兩分母相減，不是相加。

關鍵觀念：#橢圓 #圖形伸縮 #焦點座標 #長短軸

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