113分科測驗數學甲 第2題 詳解

伸縮・焦點 · 單選 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看考點

   這題在考橢圓的標準式、圖形伸縮對座標的影響，還有焦點距離 $c$ 和半長軸、半短軸的關係。關鍵是：把原圖形做完伸縮後，再用通過的點反推 $a$，最後求焦點。
2. 2

   寫出伸縮後方程式

   原橢圓 $\Gamma$ 為 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{6^2}=1.$$ 以原點為中心，沿 $x$ 軸方向伸縮為二倍、沿 $y$ 軸方向伸縮為三倍後，圖形上每個點 $(x,y)$ 會變成 $(2x,3y)$。因此新圖形的方程式可由代換 $x\mapsto \frac{x}{2}$、$y\mapsto \frac{y}{3}$ 得到： $$\frac{(x/2)^2}{a^2}+\frac{(y/3)^2}{36}=1.$$ 整理成 $$\frac{x^2}{4a^2}+\frac{y^2}{324}=1.$$
3. 3

   代入通過點求 $a$

   新圖形通過點 $(18,0)$，代入得 $$\frac{18^2}{4a^2}=1.$$ 所以 $$\frac{324}{4a^2}=1,\quad 4a^2=324,\quad a^2=81.$$ 因此原橢圓為 $$\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{36}=1.$$
4. 4

   求原橢圓焦點並判斷選項

   因為 $81>36$，所以長軸在 $x$ 軸上，令半長軸 $a=9$、半短軸 $b=6$。焦距滿足 $$c^2=a^2-b^2=81-36=45,$$ 故 $$c=3\sqrt{5}.$$ 所以焦點為 $$(-3\sqrt{5},0)\text{ 與 }(3\sqrt{5},0).$$ 選項中符合的是 **(2) $(-3\sqrt{5},0)$**。

關鍵觀念：#橢圓 #圖形伸縮 #焦點座標 #長短軸