113分科測驗數學甲 第1題 詳解

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逐步解析

1. 1

   考點與切入

   本題考直角三角形中正切的定義。看到「$\overline{BC}$ 邊上的高」，就沿 $\overline{AD}$ 把 $\triangle ABC$ 拆成 $\triangle ABD$ 與 $\triangle ACD$ 兩個直角三角形：$\tan\angle B$ 管左邊、$\tan\angle C$ 管右邊，分別求出 $\overline{BD}$ 與 $\overline{DC}$ 再相加。
2. 2

   求 BD 長

   在 $\triangle ABD$ 中 $\angle ADB=90^\circ$，正切的定義給出 $\tan\angle B=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}}$，即 $\dfrac{12}{\overline{BD}}=\dfrac{3}{2}$，移項得 $\overline{BD}=12\times\dfrac{2}{3}=8$。驗算：$8\times\dfrac{3}{2}=12$，吻合。
3. 3

   求 DC 長

   同法在 $\triangle ACD$ 中，$\tan\angle C=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{DC}}$，即 $\dfrac{12}{\overline{DC}}=\dfrac{2}{3}$，得 $\overline{DC}=12\times\dfrac{3}{2}=18$。驗算：$18\times\dfrac{2}{3}=12$，吻合。
4. 4

   垂足在內部

   $\tan\angle B>0$ 且 $\tan\angle C>0$，表示 $\angle B$、$\angle C$ 皆為銳角，垂足 $D$ 必落在 $\overline{BC}$ 內部，兩段直接相加：$\overline{BC}=\overline{BD}+\overline{DC}=8+18=26$。
5. 5

   選出答案

   答案選 (5)。最誘答的是 (1) 20：用合併式 $\overline{BC}=12\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}\right)$ 時，把 $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}$ 通分算錯成 $\dfrac{5}{3}$，$12\times\dfrac{5}{3}=20$ 就會誤選。正確通分是 $\dfrac{4}{6}+\dfrac{9}{6}=\dfrac{13}{6}$，$12\times\dfrac{13}{6}=26$。

關鍵觀念：#三角比 #高 #正切

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