108學年鷺江國中第2次段考數學 第9題 詳解

逐步解析

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   逆定理的判別法

   畢氏定理的逆定理：三角形三邊長 $a\le b\le c$，只要 $a^2+b^2=c^2$ 就是直角三角形，不相等就不是。所以每一組都先挑出最長邊，再比「另外兩邊平方和」和「最長邊平方」。
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   檢查甲與乙

   (甲) 最長邊 $10$：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，相等，是直角三角形。 (乙) 最長邊 $\sqrt5$：$(\sqrt2)^2+(\sqrt3)^2=2+3=5=(\sqrt5)^2$，相等，也是直角三角形。
3. 3

   檢查丙

   (丙) 最長邊 $\dfrac{13}{7}$：$\left(\dfrac57\right)^2+\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{25}{49}+\dfrac{144}{49}=\dfrac{169}{49}=\left(\dfrac{13}7\right)^2$，相等，是直角三角形。其實它就是 $5$、$12$、$13$ 同時除以 $7$，等比例縮放不影響形狀。
4. 4

   檢查丁

   (丁) 的邊長是括號「整個再平方」：$\left(\dfrac3{11}\right)^2=\dfrac9{121}$、$\left(\dfrac4{11}\right)^2=\dfrac{16}{121}$、$\left(\dfrac5{11}\right)^2=\dfrac{25}{121}$。最長邊平方 $=\left(\dfrac{25}{121}\right)^2=\dfrac{625}{14641}$，另外兩邊平方和 $=\dfrac{81}{14641}+\dfrac{256}{14641}=\dfrac{337}{14641}$，兩者不相等。更關鍵的是 $\dfrac9{121}+\dfrac{16}{121}=\dfrac{25}{121}$，兩短邊之和恰好等於最長邊，這三段連三角形都圍不出來。
5. 5

   結論

   (甲)(乙)(丙) 都滿足逆定理，只有 (丁) 不滿足。故答案填 (丁)。

關鍵觀念：#畢氏定理逆定理 #直角三角形判別

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