機率與期望值

國中・高中 · 歷屆 109 題 · 跨 34 份考卷

機率與期望值怎麼算？
這裡整理了108學年鷺江國中第1次段考、109學年鷺江國中第1次段考、109會考、110學年鷺江國中第1次段考、110學年新莊國中第2次段考、110會考、111學年鷺江國中第1次段考、111學年新莊國中第2次段考、111分科測驗、111會考、111學測、112學年鷺江國中第1次段考、112學年新莊國中第2次段考、112分科測驗、112會考、112學測、113學年鷺江國中第1次段考、113學年新莊國中第2次段考、113分科測驗、113會考、113學測、114學年新莊國中第1次段考、114學年鷺江國中第1次段考、114分科測驗、114會考、114學測、115分科測驗、115會考、115學測共 109 題機率與期望值考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

機率×75 古典機率×34 條件機率×17 獨立事件×10 期望值×8 質數×6 樣本空間×5 貝氏定理×4 餘事件×4 樹狀圖×4 不放回抽樣×3 生活情境×3 因數×3 取後不放回×3 排列組合×3 組合×3 骰子×3 二項分布×2 中位數×2 加權平均×2 四分位數×2 完全平方數×2 取後放回×2 倍數×2 排容原理×2 幾何分布×2 撲克牌×2 質數判斷×2 一元二次方程式 二元一次方程組 三角形邊長 互補事件 公倍數 分段機率 分數化簡 比大小 占用問題 平方根 平方數 立方體頂點 列舉法 向量內積 次數分配表 行列式 伯努利試驗 判別式 貝氏推論 事件獨立 兩階段試驗 定義判斷 或事件 抽球不放回 抽球模型 抽籤 直線方程式 表格資訊整合 面積比 乘法原理 容斥原理 條件判斷 條件事件 條件計數 條件機率概念 盒狀圖 眾數 最小公倍數 最簡分數 幾何分配 幾何機率 期望值概念 硬幣 等比數列 等可能事件 等差數列 統計表判讀 集合 集合計數 補事件 資料次數分配 資料整理 路徑計數 對稱性 撲克牌情境 數對 模運算 機率大小比較 機率反推 機率比較 機率乘法原理 機率基本定義 機率遞迴關係 機率樹狀圖 機率應用 獨立試驗 隨機過程 隨機變數 應用問題

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 撲克牌取牌機率108學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
   兩個地方最容易失分。一是把「大於 $5$ 且小於 $10$」讀成含頭含尾，連 $5$ 和 $10$ 一起算成 $6$ 張，得 $\dfrac{6}{52}$ 而誤選 (B)；「大於」「小於」都不含等於。二是把「方塊」誤當成「紅色的牌」，把紅心也算進去變成 $8$ 張而落進 (C)；紅色包含紅心與方塊兩種花色，題目只要方塊。
   看這題的逐步詳解 →
2. 編號球取球為質數的機率108學年鷺江國中第1次段考數學 第7題
   這題失分幾乎都在「數錯」。最常見的兩個誤判是把 $1$ 當成質數，以及把 $9$ 當成質數（$9=3\times3$，有三個因數）；兩個都算進去就會數成 $14$ 個而誤選 (D)。另外 $21$、$27$、$33$、$39$ 是 $3$ 的倍數，$35$ 是 $5$ 的倍數，都不是質數。檢查時把 $3$ 的倍數先用各位數字和刷掉會快很多。
   看這題的逐步詳解 →
3. 必然事件機率是非判斷109學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
   有些同學看到 $1$ 會覺得「機率不是應該寫成百分比或分數嗎」，於是判成錯的。其實 $1$ 就是 $100\%$，只是寫法不同。另一個要避免的誤會是把機率算出大於 $1$ 的數字：只要答案超過 $1$ 或出現負數，一定是分子分母算錯了，因為符合的結果數不可能比所有結果數還多。
   看這題的逐步詳解 →
4. 十二星座不同星座機率求值109學年鷺江國中第1次段考數學 第24題
   這題最常見的失分不是算錯，而是算完忘了看清楚問什麼。同星座的機率 $\dfrac{1}{12}$ 算起來比較快，很多人算到這裡就直接把它寫上去，可是題目問的是「不同星座」。遇到含有「不同」「至少」「不都是」這類字眼的機率題，標準作法是先算它的反面，再用 $1$ 去減，而且要在草稿紙上圈起來提醒自己最後一定要減。
   看這題的逐步詳解 →
5. 硬幣骰子同時擲出指定結果機率109學年鷺江國中第1次段考數學 第25題
   常見錯誤是只算了其中一半。看到「骰子 $6$ 點」就寫 $\dfrac{1}{6}$，忘了硬幣也必須同時是正面，這樣會落進另一個選項。題目有「且」字，代表兩個條件要一起成立，分母必須是兩件事配對後的總數 $12$，不是單獨一件事的 $6$ 或 $2$。最保險的作法就是把 $12$ 種結果全部列出來，再圈出符合的那幾種，數字一目瞭然。
   看這題的逐步詳解 →
6. 三位數平方根為整數機率求值109學年鷺江國中第1次段考數學 第26題
   這題全部的分數都押在「邊界有沒有數對」。若不小心把 $32^2=1024$ 也算進去，個數變成 $23$，機率會是 $\dfrac{23}{900}$，剛好是另一個選項；若忘了 $10^2=100$ 本身就是三位數而從 $11$ 開始數，個數只剩 $21$，機率變成 $\dfrac{21}{900}=\dfrac{7}{300}$，也是一個選項。數連續整數的個數請固定用「大減小再加一」，並且把兩端各自平方回去確認真的是三位數。
   看這題的逐步詳解 →
7. 撲克牌比大小機率化簡最簡分數判斷109學年鷺江國中第1次段考數學 第27題
   最常見的想法是「不是大就是小，所以直接把總數對半分」，但 $169$ 是奇數除不盡。有人就把平手當成一種情形，算 $\dfrac{169-1}{2}=84$，剛好湊出另一個選項。實際上兩人點數相同有 $13$ 種，要先全部扣掉再對半分。另外題目要的是「最簡分數」的 $a$ 與 $b$，算到 $\dfrac{78}{169}$ 一定要繼續約分，忘了約就會把 $a$ 寫成 $169$。
   看這題的逐步詳解 →
8. 兩袋取球組成二位數為質數機率109學年鷺江國中第1次段考數學 第28題
   最容易漏掉的是 $87$。它看起來沒有明顯的因數，很多人就當成質數，結果數成 $5$ 個而算出 $\dfrac{5}{9}$，剛好落在另一個選項。判斷兩位數是不是質數，固定拿 $2$、$3$、$5$、$7$ 去試除就夠了，因為 $11^2=121$ 已經超過兩位數。$87$ 的各位數字和是 $15$，是 $3$ 的倍數，所以 $87$ 一定能被 $3$ 整除，$87=3\times29$。
   看這題的逐步詳解 →
9. 抽湯圓機率109會考數學 第3題
   古典機率的分母永遠是「所有可能的情形數」，也就是全部 $25$ 顆湯圓，不是另一種口味的顆數。最常見的錯誤是把花生和芝麻的顆數拿來相比，算成 $\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$ 而誤選 (B)；另一種是看到兩種口味就直覺各半而選 (A)。記得先問「總共有幾種等機會的結果」，再問「其中幾種是我要的」，最後別忘了約分。
   看這題的逐步詳解 →
10. 機率敘述正確判斷110學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
    容易誤把 $1$ 當成質數，算成 $\dfrac{4}{6}$；$1$ 既不是質數也不是合數，骰子上的質數只有 $2$、$3$、$5$。另外 (A) 的想法「只有兩種結果就各一半」也常見，其實必須每種結果出現的機會相同，才能用個數去算機率。
    看這題的逐步詳解 →
11. 刮刮樂抽獎求機率110學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最常見的錯是只拿有獎的 $21$ 張當分母，算成 $\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}$ 而選 (B)。賴同學抽的是全部 $60$ 張中的一張，沒中獎的 $39$ 張也可能被拿到，分母要用全部。另外 SWITCH 系列包含主機和健身環兩種，只算主機會少算。
    看這題的逐步詳解 →
12. 路徑圖求經過某點機率110學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    最容易漏掉的是 $B$ 到 $E$ 那條斜線，只數出 ②③④⑤ 四條，經過 $C$ 的有 $3$ 條，就會算成 $\dfrac{3}{4}$ 而選 (D)。另一個漏法是只數走兩段的路線。列路線時可以依「中間經過幾個點」分類：$0$ 個、$1$ 個、$2$ 個，逐類列出才不會漏。
    看這題的逐步詳解 →
13. 兩骰子最小公倍數求機率110學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    最常見的錯是只數組合 $5$ 組，忘了兩顆骰子是不同的，算成 $\dfrac{5}{36}$ 而選 (A)。$(2,3)$ 與 $(3,2)$ 是兩種不同的結果，只有兩顆點數相同的 $(6,6)$ 才只算一次。另外也別漏掉 $(6,6)$，它的最小公倍數也是 $6$。
    看這題的逐步詳解 →
14. 兩袋抽球比較機率大小110學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
    最常見的錯是直接比顆數而不看總數：甲袋黃球 $3$ 顆比乙袋 $4$ 顆少，就以為機率比較小而選 (C)；綠球 $2$ 顆比 $3$ 顆少，就選 (B)。兩袋總數不同，要先化成機率 $\dfrac{\text{顆數}}{\text{總數}}$，通分後再比較。
    看這題的逐步詳解 →
15. 刮刮樂機率・表格資訊110會考數學 第11題
    最容易誤選B選項十六分之一，錯在把分母當成三十二張中獎的刮刮樂；但小柏拿的是一百張裡的任一張，沒中獎的也在裡面，分母應該是一百。另外二十五分之八是三十二除以一百，是刮中任何獎品的機率，題目只問玩偶，要看清楚問的是哪一種獎品。
    看這題的逐步詳解 →
16. 骰子點數和比較求機率111學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最容易錯的是把「點數和等於 $6$」也算進去。和為 $6$ 有 $(1,5)$、$(2,4)$、$(3,3)$、$(4,2)$、$(5,1)$ 共 $5$ 種，併進來會得到 $\frac{10+5}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$，正好落在 (C) 這個誘答上。但兩人點數和一樣大時沒有人比較小，誰都不用請客，這 $5$ 種必須排除。另一個直覺陷阱是覺得「不是我請就是你請，各佔一半」而選 (B)，同樣是忘了平手的情況。
    看這題的逐步詳解 →
17. 兩箱抽球顏色相同機率111學年鷺江國中第1次段考數學 第16題
    最常見的錯是沒有逐箱核對顏色，看到「兩箱各三顆」就以為有三組同色配對，算成 $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ 而選 (A)。甲箱的綠與乙箱的黑是各自獨有的顏色，湊不成同色。另一個錯是只算了紅配紅這一種就收手，得到 $\frac{1}{9}$ 而選 (B)，漏掉了黃配黃。遇到兩堆配對的題目，最穩的做法是把 $9$ 種組合老老實實列成表格，再把同色的格子圈出來。
    看這題的逐步詳解 →
18. 兵種抽籤求機率111學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    兩個常見誤區。一是總數加錯：唸到「$20$、$15$、$10$」就收手，漏掉自己要算的那 $5$ 支，分母寫成 $45$，得到 $\frac{5}{45}=\frac{1}{9}$ 而選 (B)；分母必須是全部的籤，包含海軍陸戰隊自己那一份。同理，漏掉空軍那 $10$ 支會得到分母 $40$，$\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$，落在 (A)。二是看到「分成四類」就以為每一類機會相同而直接寫 $\frac{1}{4}$；但四種籤的支數差很多，$\frac{1}{10}$ 和 $\frac{1}{4}$ 差得很遠。機率均等的是「每一支籤」，不是「每一個兵種」。
    看這題的逐步詳解 →
19. 號碼牌中位數求機率111學年鷺江國中第1次段考數學 第22題
    最常見的錯是把中位數看成「號碼 $1$ 到 $5$ 的正中間」而寫成 $A=3$，接著算成 $\frac{1+2}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。中位數是對「$15$ 個號碼」排序後取中間，不是對「五種號碼」取中間；號碼大的牌張數多，會把中位數往右拉。第二個小陷阱是「小於 $A$」不含 $A$ 本身，號碼 $4$ 的那 $4$ 張不能算進去，否則會變成 $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$。
    看這題的逐步詳解 →
20. 伯努利試驗・期望值111分科測驗數學甲 第9題
    最常見的錯是第二種過程忘了「第一回必須不是大吉」，寫成 $\dfrac1{25}+\dfrac1{25}=\dfrac{2}{25}$（把「大吉大吉大吉」算了兩次），得 $E(X)=12.5$；或把「連續兩回」看成「三回中至少兩回」而得 $\dfrac{13}{125}$。先把停止規則列成互斥的過程，再相加。
    看這題的逐步詳解 →
21. 不放回抽球機率111會考數學 第9題
    兩個常見錯誤：一是分母用 $6$（想成 $6$ 種號碼），但機率要用「剩下的球數 $7$」當分母，因為是對每顆球等機率抽；二是分子算成 $4$，以為 $1$、$2$、$3$、$5$ 四種號碼各剩一顆，忘了 $2$ 號兩顆都被小茹抽走了，這樣會誤選 (D)。先把剩下的 $7$ 顆球一顆一顆列出來再數，就不會漏。
    看這題的逐步詳解 →
22. 貝氏定理・檢驗準確度111學測數學A 第5題
    最常見的錯誤是把「染病者判為陽性 $80\%$」直接拿來當陰性的機率，或忘了未染病者也可能判陰性（$60\%$），分母只放染病者那一項。條件機率的分母一定是「所有判陰性的人」，要把染病與未染病兩類都加進去；三次採檢則是把每一類的單次機率各自三次方，而不是把 $P$ 三次方。
    看這題的逐步詳解 →
23. 十連抽機率・期望值111學測數學A 第13題
    最常見的錯是把餘下的 500 枚代幣當成還能抽，或把輪數四捨五入成 16；「抽到不能再抽」的意思是代幣不足 1500 就停，所以是 15 輪。另一個坑是去算「至少一張」的機率 $1-0.98^9\times 0.9$，那是機率不是期望值；期望值可以直接把每次的機率相加，不需要考慮是否重複中獎。
    看這題的逐步詳解 →
24. 貝氏定理・條件機率111學測數學B 第15題
    最常見的錯誤是把「沒被找到的當中有 $90\%$ 未裝設」直接當成 $P(T\mid F')=0.9$，忘了要用 $1-0.9=0.1$，那會算出 $\dfrac{0.42}{0.42+0.27}=\dfrac{14}{23}$。另一個錯誤是把條件方向弄反，直接回答 $P(T\mid F)=0.6$。建議畫樹狀圖：第一層分「找到／沒找到」，第二層分「有裝／沒裝」，題目給的條件是「已知有裝」，所以分母只收集「有裝」的兩條路徑。
    看這題的逐步詳解 →
25. 球色組合・餘事件機率111學測數學B 第16題
    最常見的錯誤是忘了黃球也可能同色，只扣掉皆藍與皆綠，得到 $1-\dfrac{13}{45}=\dfrac{32}{45}$。另一個錯誤是解 $C^{b}_{2}=3$ 時把它看成 $b=3$ 太快而沒驗證，或解 $C^{g}_{2}=10$ 時算成 $g=4$（$C^{4}_{2}=6$ 不對）。求出球數後，用「直接數相異色配對」再算一次是最好的驗算方法。
    看這題的逐步詳解 →
26. 排除2和3的倍數求機率112學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最常見的失誤是「$1$ 到底算不算」。$1$ 既不是 $2$ 的倍數也不是 $3$ 的倍數，完全符合題目條件，一定要數進去；把 $1$ 漏掉就只剩 $6$ 個而選 (A)。第二個常見錯誤是剔除 $3$ 的倍數時漏掉奇數的那幾個（例如忘了 $9$ 或 $15$ 也是 $3$ 的倍數），就會多留一個而算成 $\dfrac{8}{20}$。穩妥的做法是把 $1$ 到 $20$ 全部寫出來，先把偶數畫掉，再把 $3,\ 9,\ 15$ 畫掉，剩下幾個直接數。
    看這題的逐步詳解 →
27. 取後不放回求條件機率112學年鷺江國中第1次段考數學 第10題
    「取後不放回」最怕的是只改一半。有人記得黃球少了一顆、分母卻還用原來的 $13$，算成 $\dfrac{5}{13}$；也有人分母改成 $12$ 了、分子卻還用原來的 $6$ 顆黃球，算成 $\dfrac{6}{12}$，這兩個值都不在選項裡，正好提醒你算錯了。還有人看錯顏色，把白球的 $4$ 顆當成分子而選 (C)。正確的動作是先把抽完之後「總共剩幾顆、各色各剩幾顆」重新寫一遍，再列機率。
    看這題的逐步詳解 →
28. 投擲兩次骰子點數和為4的機率112學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    這題的關鍵是「有先後順序」。題目用數對 $(x,y)$ 分別記錄第一次和第二次的點數，所以 $(1,3)$ 和 $(3,1)$ 是兩種不同的結果，不能併成一種；若把它們當成同一種，就只算到 $2$ 種而得 $\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$。反過來說，分母 $36$ 也是照有順序的方式數出來的，分子和分母必須用同一套算法；分母用有順序的 $36$、分子卻用不計順序的數法，答案一定會錯。
    看這題的逐步詳解 →
29. 兩顆骰子點數皆為質數的機率112學年鷺江國中第1次段考數學 第18題
    這題最常見的錯誤是把 $1$ 當成質數。質數的定義是「大於 $1$ 且只有 $1$ 和自己兩個正因數」，$1$ 只有一個正因數，既不是質數也不是合數。若誤把 $1$ 算進去，每顆骰子就變成 $4$ 種，算出 $\dfrac{4\times 4}{36}=\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}$，答案就錯了。另一個要注意的是題目要求「兩顆都是」，必須把兩顆的情形相乘，只算一顆的 $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ 並不是所求。
    看這題的逐步詳解 →
30. 兩個孩子都是女孩的機率112學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
    最經典的錯誤是把情形分成「兩個都是男、一男一女、兩個都是女」三種，然後說機率是 $\dfrac{1}{3}$。問題在於這三種情形發生的機會並不相等：「一男一女」其實包含（男，女）和（女，男）兩種排法，機會是另外兩種的兩倍。算機率時，分母裡的每一種情形都必須是等可能的，所以要把兩個小孩分出先後再列，才會得到正確的 $4$ 種等可能情形。
    看這題的逐步詳解 →
31. 時鐘棋子・期望值與機率112分科測驗數學甲 第7題
    常見錯誤有兩個：(3) 憑感覺以為任何位置都到得了，忽略每次走 5 格、8 次後淨移動必為偶數格的奇偶限制；(5) 直覺認為位置對稱所以期望值約 6，忘了「12 點」在鏡像下對應自己，權重把平均拉高。把位置寫成 $10H-40$ 除以 12 的餘數，配合二項分布列表就不會漏。
    看這題的逐步詳解 →
32. 獨立事件機率112會考數學 第12題
    「兩件事都發生」的機率要相乘，不是把喜歡的款式數和總款式數分別相加。$\dfrac{2+1}{6+5}$ 相當於把 $11$ 款放在同一個箱子抽一次，和題目各買一盒的情境不同。也可以列出所有組合：$6\times5=30$ 種，其中喜歡的 $2\times1=2$ 種，機率 $\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$。
    看這題的逐步詳解 →
33. 期望值・向量內積112學測數學A 第6題
    這題若把二十一組配對一組一組列出來算內積，很容易漏掉或重複。比較穩的做法是先看出內積等於「同時為一的坐標軸數」，再按 x、y、z 三軸分別數有多少組配對同時為一，每軸都是四取二等於六。常見錯誤是分子只算了某幾軸，或分母誤用有順序的七乘六，分子分母不一致就會得到錯的分數。
    看這題的逐步詳解 →
34. 二項分布・至少一次機率112學測數學A 第8題
    常見錯誤是把「玩 n 次至少中一次」的機率直接算成 n 乘零點一，這會忽略重複中獎的情形，也會在 n 大於十時超過一。正確做法一定是走餘事件：一減全沒中的機率。另外 E選項用「二倍」來唬人，只要代 n 等於二算一次，或想到機率不可能大於一，就能排除。
    看這題的逐步詳解 →
35. 條件機率・號碼球112學測數學B 第5題
    最常見的錯誤是憑直覺選 (3)，以為「$7$ 的倍數」和抽到 $7$ 最相關；但條件機率的大小取決於條件裡總共有幾顆球，$7$ 的倍數有 $14$ 顆、小於 $10$ 的只有 $9$ 顆。解題步驟是：先確認 $7$ 號球滿足每個條件，再把每個條件的球數數清楚，球數最少的條件機率最大。數質數時別漏掉 $2$，也別把 $1$ 算進去，$100$ 以內質數是 $25$ 個。
    看這題的逐步詳解 →
36. 兩人擲骰子平手機率113學年鷺江國中第1次段考數學 第3題
    機率題一定要先確認「等可能」的基本情形是什麼。這題的基本情形是「甲的點數配上乙的點數」，共 $36$ 種，不是只有「平手、不平手」兩種，所以不能直接說各佔一半。另一個常犯的錯是只找到一組符合的情形就停手；遇到「相同」「一樣」這類條件，請把 $(1,1)$ 到 $(6,6)$ 一組一組寫完再數，或畫樹狀圖檢查有沒有漏掉。
    看這題的逐步詳解 →
37. 抽球求機率113學年鷺江國中第1次段考數學 第10題
    抽球機率的公式是「符合條件的球數除以全部球數」，分母一定是袋中所有球的總數，不是某一種顏色的數量。這題最容易出錯的地方有兩個：一是把題目問的顏色看反，算成藍球的機率；二是把總數算錯，忘了要把兩種顏色加起來。建議先在題目旁邊寫下「總共 $5$ 顆」，圈出題目問的是紅球，再寫分數，順序固定下來就不容易錯。
    看這題的逐步詳解 →
38. 求同時為 3 與 4 倍數的機率113學年鷺江國中第1次段考數學 第11題
    這題的關鍵字是「且」。「是 $3$ 的倍數且是 $4$ 的倍數」要轉成最小公倍數 $12$ 的倍數，不是把兩組倍數加起來，也不是把兩個機率相乘。另一個常見的失誤是分母放錯：抽數字的範圍是 $1\sim 30$，所以分母永遠是 $30$，不能換成「$3$ 的倍數有幾個」。數倍數時建議直接把 $12$、$24$ 寫出來，再確認 $36$ 是否超過範圍，比用除法估算安全。
    看這題的逐步詳解 →
39. 撲克牌抽牌機率（排除黑桃且為字母牌）113學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    這題是「且」的複合條件，兩個條件要同時滿足，不能只做一半。建議畫一張四花色乘十三點數的表格，先圈出 $\mathrm{A}$、$\mathrm{J}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{K}$ 四行共 $16$ 張，再把黑桃那一列劃掉，剩下的 $12$ 格一目了然。另一個常見的糾結是 $\mathrm{A}$ 到底算不算字母牌；牌面印的是英文字母 $\mathrm{A}$，當然算，把它漏掉就會少四張。分母則永遠是 $52$。
    看這題的逐步詳解 →
40. 聯集問題求兩科皆不及格機率113學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
    這種「兩群人有重疊」的題目，一定要先算「至少一科及格」再用全班人數去扣，不能直接拿 $50$ 減兩個及格人數。判斷有沒有重疊的訣竅是加總看看：$32+28=60$ 已經超過全班 $50$ 人，代表一定有人被重複計算，這時就要減掉「兩科都及格」的 $15$ 人。另外要看清楚問的是「皆不及格」還是「皆及格」，題目給的數字裡常常藏著剛好相反的那一個，順手圈起來比較保險。
    看這題的逐步詳解 →
41. 取後放回兩次取球號碼大小機率113學年鷺江國中第1次段考數學 第21題
    這題的關鍵是別忘了「兩次號碼相同」這一類。比較兩個數時結果有三種：大於、等於、小於，不是兩種，所以不能直接說機率各半。因為取後放回，大於和小於的情形數會一樣多（各 $6$ 種），相同的有 $4$ 種，合起來才是 $16$ 種。寫答案前用這三類加總核對一次是最快的檢查法。另外「取後放回」和「取後不放回」總數不同，後者只有 $4\times 3=12$ 種，看到題目先圈起來。
    看這題的逐步詳解 →
42. 機率・期望值113分科測驗數學甲 第4題
    全班最容易錯在 (4) 取對數那一步：$\log 0.9=2\log 3-1\approx -0.0458$ 是負數，把它除到不等式另一邊時不等號必須變向，得 $n>21.8$ 再取 $22$；忘記變向會寫成 $n<21.8$，把 21 個當成夠用而誤判 (4)。
    看這題的逐步詳解 →
43. 抽球機率・不放回113會考數學 第6題
    忘記「紅球不放回」這個條件，仍用一開始的 10 顆紅球、60 顆球去算，得 $\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}$ 而誤選 (B)。動筆前先問自己：抽到第三十一次時，箱子裡的紅球和總球數各是多少？
    看這題的逐步詳解 →
44. 棋盤隨機移動・機率113學測數學B 第12題
    最常見的錯誤是 (5)：直覺認為機器人常撞牆留在原地，待在 $A$、$D$ 這組的機率會偏高；但每一步「留在同組」和「跨到另一組」的機率各 $\dfrac{1}{2}$，從第 1 步起 $a_n+d_n$ 就固定是 $\dfrac{1}{2}$。另一個疏忽是算 $b_2$ 時漏掉「先留在 $A$ 再走到 $B$」這條路徑，記得留在原地也是一種走法。
    看這題的逐步詳解 →
45. 機率與四分位數敘述判斷114學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    這種敘述題最怕憑印象作答。(C) 特別容易誤選，因為課本上畫的盒狀圖常常左右兩半看起來差不多寬，就以為 $Q_2-Q_1$ 一定等於 $Q_3-Q_2$。要記得四分位數切的是「資料筆數」不是「數值」，只要分布不均勻，盒子就會一邊胖一邊瘦。(B) 的陷阱則是漏掉「機會相等」這個前提，沒有這個前提就不能拿結果個數直接當分母。
    看這題的逐步詳解 →
46. 路線圖求經過指定點的機率114學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    最容易誤選 (C) 的 $\frac{1}{6}$：把兩個岔路口的 3 條與 3 條「相加」成 6 條當作總走法數，再用 $\frac{1}{6}$ 作答。岔路口是「先選一次、再選一次」，前後要相乘不是相加，總數是 $3\times 3=9$。另外要看清楚題目問的是「經過 $B$ 而且經過 $E$」，不是「經過 $B$ 或經過 $E$」，兩個條件必須同時成立。遇到分岔路題，把路線一條一條列出來數，是最不容易出錯的做法。
    看這題的逐步詳解 →
47. 公因數中取合數的機率114學年鷺江國中第1次段考數學 第13題
    最容易誤選 (D) 的 $\frac{2}{3}$：把 1 也算成合數，變成 $1,4,6,12$ 共 4 個，機率就成了 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。要牢牢記住「1 既不是質數也不是合數」。另一個常見錯誤是列因數時漏掉 12 自己，只數到 4、6 兩個合數，機率變成 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ 而誤選 (B)。列因數時請成對地找，$1\times 12$、$2\times 6$、$3\times 4$，就不會把最大的那一個漏掉。
    看這題的逐步詳解 →
48. 不放回抽球求條件機率114學年鷺江國中第1次段考數學 第23題
    分子和分母一定要「同時」更新。最容易誤選 (C) 的 $\frac{1}{15}$：記得把紅球扣成 4 顆，卻忘了總球數也跟著從 60 變成 54，寫成 $\frac{4}{60}=\frac{1}{15}$。另一個常見錯是完全忽略「不放回」這個條件，直接用一開始的 $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$ 而誤選 (B)。遇到抽了不放回的題目，先把「現在箱子裡總共幾顆、其中幾顆是要的」老實寫下來，再算機率，就不會顧此失彼。
    看這題的逐步詳解 →
49. 抽籤分配求同時使用機率114學年鷺江國中第1次段考數學 第24題
    最容易誤選 (B) 的 $\frac{2}{3}$：算出來的其實是「恩恩一個人抽到跑步機」的機率（3 支籤中有 2 支跑步機，確實是 $\frac{2}{3}$），但題目要的是恩恩「和」哲哲兩個人同時抽到跑步機，條件更嚴格。另一個常見錯是把兩人當成互不影響的獨立事件相乘，寫成 $\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，這個值不在選項裡——籤抽走一支就少一支，第二個人的機率會變成 $\frac{1}{2}$，不能直接用同樣的分母。
    看這題的逐步詳解 →
50. 機率・條件判析114分科測驗數學甲 第12題
    斷點在「$75$ 元的性質」：它是保底加購、付了就直接拿公仔，不是第三次抽獎。把它當成還要再抽一次的人，會多乘 $\dfrac25$ 而誤選 (5)；先把「共付 $300$ 元」精確翻譯成「前兩次皆未中」這個事件，再動手算。
    看這題的逐步詳解 →
51. 機率・逐一比大小114會考數學 第11題
    兩個關卡最容易失手：一是拿「看得見的牌」去算——翻的是蓋住的 2、4、5 對 1、3、4，題目讀太快就會用 1、3 對 5、2 亂算；二是逐格比較時，阿嘉的 4 碰到小楊的 4 是平手、不能算贏，而把「阿嘉比較小」的 2 種當成答案就會誤選 (D) 的 $\dfrac{2}{9}$。建議畫 3 乘 3 的表格逐格標大、小、平，最後用三種機率總和等於 1 驗算。
    看這題的逐步詳解 →
52. 機率・獨立114學測數學A 第1題
    「獨立」只能用定義 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 列式：它不是互斥（$P(A\cap B)=0$），也不是「兩種編號一樣多」。列式時 $P(A\cap B)$ 要拿「藍色且 1 號」那一格的 2 顆，拿成整排的 5 顆或 6 顆整題就歪了。
    看這題的逐步詳解 →
53. 機率期望・分段114學測數學A 第15題
    「第 $4$ 次才滿 $3$ 正」最容易誤算成「前 $4$ 次恰 $3$ 正」$=\dfrac{C^4_3}{2^4}=\dfrac14$：這把「前 $3$ 次已全正、第 $4$ 次反面」的情形（早就用 $240$ 元買到了）也混進來。正確拆法是鎖定「最後一擲必為正面」：前 $3$ 次恰 $2$ 正，乘上第 $4$ 次正面的 $\dfrac12$。
    看這題的逐步詳解 →
54. 抽獎公仔・恰三種機率114學測數學B 第4題
    最常見的錯誤是只算「選哪三種、哪一種重複」得 $12$ 種，忘了四次抽獎是有順序的，分子必須再乘上 $\dfrac{4!}{2!}=12$ 種排法；分母用了有順序的 $4^4$，分子也必須用有順序的算法，兩邊口徑要一致。另一個坑是把「恰抽到三種」看成「至少三種」而多算了四種全不同的情形。處理這類「占用」問題，先把次數分配型態（這裡是 $2,1,1$）寫清楚，再依序選款式、選重複者、排順序。
    看這題的逐步詳解 →
55. 雙停車場・至少一個有空位機率114學測數學B 第13題
    最常見的錯誤是把兩個停車場「有空位」的機率直接相加得 $0.3+0.3=0.6$，這樣把「兩個都有空位」的情形算了兩次；也有人算成 $0.3\times0.3=0.09$，那是「兩個都有空位」而不是「至少一個」。看到「至少」兩個字，先想餘事件：$1-P(\text{全都沒有})$；獨立事件的「都」用乘法。
    看這題的逐步詳解 →
56. 抽球機率性質判斷115分科測驗數學甲 第4題
    選項 (4) 最容易憑「等比數列中間項是幾何平均」的印象就勾下去。正確做法是動手代一組數字，例如 $1,2,4$，$p_2=\dfrac27$ 立刻小於 $\dfrac13$；再想算幾不等式 $n_1+n_3\ge2n_2$，會發現 $p_2\le\dfrac13$ 才是對的方向。判斷「若…則…」型的選項，先找反例，找不到再證明，比直覺可靠得多。
    看這題的逐步詳解 →
57. 二項分布條件機率115分科測驗數學甲 第11題
    最常見的錯誤有三個：把「點數大於 $4$」算成 $\dfrac36$（那是「大於等於 $4$」）；漏掉或多算獲獎路徑，其實 $X\ge3$ 且 $Y=X-1$ 只有 $(3,2),(4,3),(5,4)$ 三條；以及算條件機率時分母只放 $P(X\ge3)$ 而不是獲獎的機率。做法是三條路徑逐一相乘，公分母 $243\times32$ 先不要乘開，最後直接用分子 $400$ 與 $505$ 約分。
    看這題的逐步詳解 →
58. 兩袋抽球數字和機率115會考數學 第4題
    這題不能只看「哪個數字最中間」憑感覺猜，也不能把兩袋的數字混在一起亂加。正確做法是用樹狀圖或表格，把 3×3=9 種組合全部列出，再數每個總和出現幾次。常見錯誤是漏列組合（例如只列了不重複的數字對），或是誤以為總和 6 和 8 也有 3 種組合而選錯。
    看這題的逐步詳解 →
59. 期望值・加權平均115學測數學A 第1題
    兩個得獎情況都要算：很多人算完「都吉」的 $180\times\frac{1}{9}=20$ 就停手，漏掉「都祥」的 $90\times\frac{1}{9}=10$，誤選 (1)。動筆前先把「都吉、都祥、其他」三種情況與機率列成表，再一次加總，就不會漏項。
    看這題的逐步詳解 →
60. 條件機率・貝氏思路115學測數學A 第13題
    最常見的錯法是分母放錯：直接算 $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{20}$ 就作答。$\dfrac{9}{20}$ 是「碩士且通過」占全體的機率，條件機率還要再除以「通過檢定」的總機率 $\dfrac{1}{20}+\dfrac{9}{20}=\dfrac{1}{2}$；先把分母事件圈出來再動手。
    看這題的逐步詳解 →
61. 福袋中獎・條件機率115學測數學B 第7題
    這題最容易搞混的是 $p$ 與 $q$ 的「條件」誰在前面：$p$ 是「已知 A 中」問「至少兩個中」，$q$ 是「已知至少兩個中」問「A 中」，兩者的分子都是 $P(A\cap E)$，只是分母不同，一顛倒就會選到 (4)。另一個常見錯誤是算 $P(E)$ 時漏掉「A 不中但 B、C 都中」這一種情形，或是把「至少兩個」誤當成「恰好兩個」而排除三個都中的情況。建議先把 $E$ 用互斥情形拆清楚，再套條件機率的定義。
    看這題的逐步詳解 →

歷屆考題與答案