機率與期望值

高中・國中 · 歷屆 8 題 · 跨 6 份考卷

機率與期望值怎麼算？
這裡整理了113分科測驗、113會考、114分科測驗、114會考、114學測、115學測共 8 題機率與期望值考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

條件機率×4 機率×4 期望值×2 獨立事件×2 不放回抽樣 事件獨立 列舉法 幾何分配 條件判斷 樣本空間 機率乘法原理 機率樹狀圖 等可能事件 補事件 貝氏定理 隨機變數

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 機率・期望值113分科測驗數學甲 第4題
   把「至少一次」誤看成一次；或把「趨近一」誤當成「等於一」
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2. 抽球機率・不放回113會考數學 第6題
   全班最容易錯在把「前三十次抽到紅球四次」誤以為第 31 次還是 $\dfrac{10}{60}$，忘了紅球抽到就不放回，數量已經變成六顆。
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3. 機率・條件判析114分科測驗數學甲 第12題
   很多同學會誤把「付到三百元」看成「抽中」或「三次事件」，其實關鍵是：只有前兩次都沒中，才會多付七十五元，所以要算的是「兩次皆未中」的機率。
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4. 機率・逐一比大小114會考數學 第11題
   全班最容易錯在把「阿嘉蓋住的牌」看成 1 和 3，或是把相等的情況 $4=4$ 誤算成阿嘉比較大。這題一定要先寫出兩人各自能翻到哪些數，再用九種配對去比，不能直接亂猜。
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5. 機率・獨立114學測數學A 第1題
   最容易錯在只算到藍球比例，忘了獨立要同時看交集與總數。
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6. 機率期望・分段114學測數學A 第15題
   最容易漏掉的是把「第幾次才累積到三個正面」誤解成「前幾次出現三個正面就好」，導致第四次、第五次的機率算錯。
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7. 期望值・加權平均115學測數學A 第1題
   最容易錯在把「兩次抽籤」誤看成四種結果都要列，或忘了「其餘情況」獎金是零而漏算期望值。也有人會直接把 $180$ 和 $90$ 平均，沒乘上機率，這樣會算錯。
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8. 條件機率・貝氏思路115學測數學A 第13題
   最容易錯在把 $P(P\mid M)$ 誤當成 $P(M\mid P)$，直接寫成三分之五。記得條件機率的順序不能反過來；題目是「已知通過後，看是不是碩士」，不是「已知碩士後，看有沒有通過」。
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