114學測數學A 第15題 詳解

機率期望・分段 · 選填 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   看懂題意

   這題在考「離散型隨機變數的期望值」。關鍵是把「第幾次才累積到第三個正面」翻成不同付款金額的機率，然後用 $E(X)=\sum x\,P(X=x)$ 算平均花費。
2. 2

   建立事件

   設付款金額為 $X$。依題意：
   $X=240$ 當且僅當前三次就出現三個正面；
   $X=320$ 當且僅當前四次才累積到三個正面；
   $X=400$ 當且僅當前五次才累積到三個正面；
   $X=480$ 當且僅當五次內仍未累積到三個正面。
3. 3

   算前三次就中

   前三次連續擲得三個正面的機率是
   $P(X=240)=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$.
4. 4

   算第四次才中

   第四次才累積到三個正面，表示前四次中剛好有三個正面，而且前三次不可能已經三個正面。這等價於前四次恰有三個正面、且第四次是正面。
   因此前四次共有 $\binom{4}{3}=4$ 種排法，每種機率都是 $\left(\frac{1}{2}\right)^4$，所以
   $P(X=320)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
5. 5

   算第五次才中

   第五星才累積到三個正面，表示前四次正面數不能已達三個，且前五次剛好有三個正面。等價於前五次恰有三個正面，且第五次一定是正面，所以前四次恰有兩個正面。
   前四次選兩次正面的排法有 $\binom{4}{2}=6$ 種，因此
   $P(X=400)=\frac{6}{32}=\frac{3}{16}$.
6. 6

   算五次都沒中

   五次投完仍未累積三個正面，表示五次中正面少於三個，也就是正面數為 $0、1、2$。
   所以
   $P(X=480)=\frac{\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}}{2^5}
   =\frac{1+5+10}{32}
   =\frac{16}{32}
   =\frac{1}{2}$.
7. 7

   算期望值

   依期望值公式
   $E(X)=240\cdot\frac{1}{8}+320\cdot\frac{1}{4}+400\cdot\frac{3}{16}+480\cdot\frac{1}{2}$。
   通分計算：
   $240\cdot\frac{1}{8}=30$，
   $320\cdot\frac{1}{4}=80$，
   $400\cdot\frac{3}{16}=75$，
   $480\cdot\frac{1}{2}=240$。
   因此
   $E(X)=30+80+75+240=425$ 元。

關鍵觀念：#機率 #期望值 #條件機率