114學測數學A 第15題 詳解

答案405 元看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   分四種價格

   本題考機率分布與期望值。價格由「第幾次擲滿 $3$ 個正面」決定：前 $3$ 次全正 $\to 240$ 元；第 $4$ 次才累積滿 $3$ 正 $\to 320$ 元；第 $5$ 次才滿 $\to 400$ 元；$5$ 次仍未滿 $\to 480$ 元。逐一求機率，再做加權平均。
2. 2

   前兩種機率

   $P(240)=\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$。「第 $4$ 次才滿 $3$ 正」表示前 $3$ 次恰 $2$ 正、且第 $4$ 次擲出正面：$P(320)=C^3_2\left(\dfrac12\right)^3\cdot\dfrac12=\dfrac3{16}$。
3. 3

   後兩種機率

   「第 $5$ 次才滿」表示前 $4$ 次恰 $2$ 正、且第 $5$ 次擲出正面：$P(400)=C^4_2\left(\dfrac12\right)^4\cdot\dfrac12=\dfrac6{32}=\dfrac3{16}$。其餘為原價：$P(480)=1-\dfrac18-\dfrac3{16}-\dfrac3{16}=\dfrac12$。代回檢查：「$5$ 次擲出的正面不足 $3$ 個」的機率 $=\dfrac{C^5_0+C^5_1+C^5_2}{2^5}=\dfrac{1+5+10}{32}=\dfrac12$，兩邊吻合。
4. 4

   算期望值

   $E=240\cdot\dfrac18+320\cdot\dfrac3{16}+400\cdot\dfrac3{16}+480\cdot\dfrac12=30+60+75+240=405$。答案為 $405$ 元。

關鍵觀念：#機率 #期望值 #條件機率

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