114學測數學A 第14題 詳解

答案$a+b+c=-11$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   距離列式

   本題考點到平面的距離公式。$E_1$、$E_2$ 的法向量長皆為 $\sqrt{4^2+3^2}=5$，$E_3$ 的法向量長為 $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$。三個距離條件：$\dfrac{|4b+3c-2|}5=6$、$\dfrac{|3b+4c+5|}5=6$、$\dfrac{|a+2b+2c+2|}3=6$。
2. 2

   拆絕對值

   利用 $b,c<0$ 拆絕對值：$4b+3c<0$，故 $4b+3c-2<-2$，只能等於 $-30$，得 $4b+3c=-28$；同理 $3b+4c<0$，$3b+4c+5<5$，只能等於 $-30$，得 $3b+4c=-35$。
3. 3

   解出 b、c

   兩式相加：$7(b+c)=-63$，得 $b+c=-9$；相減：$b-c=7$。解得 $b=-1$、$c=-8$，皆為負，符合條件。代回檢查：$4(-1)+3(-8)=-28$、$3(-1)+4(-8)=-35$，皆吻合。
4. 4

   解 a 收尾

   $a+2b+2c+2=a+2(b+c)+2=a-16$，由 $|a-16|=18$ 得 $a=34$ 或 $a=-2$；因 $a<0$，取 $a=-2$。故 $a+b+c=-2+(-1)+(-8)=-11$。答案為 $-11$。

關鍵觀念：#點到平面距離 #聯立方程 #對稱性

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