114學測數學A 第14題 詳解

平面距離・聯立 · 選填 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   觀念先抓

   這題在考「點到平面距離公式」和「同一點到三個平面的距離都相等」。因為 $A=(a,b,c)$ 且 $a,b,c<0$，所以代入絕對值時，可以直接判斷符號，建立三條距離方程。
2. 2

   寫出距離式

   點 $A(a,b,c)$ 到平面 $E_1:4y+3z=2$ 的距離為
   $$\frac{|4b+3c-2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=6$$
   所以
   $$|4b+3c-2|=30.$$
   同理，對 $E_2:3y+4z=-5$，有
   $$\frac{|3b+4c+5|}{5}=6\Rightarrow |3b+4c+5|=30.$$
   對 $E_3:x+2y+2z=-2$，有
   $$\frac{|a+2b+2c+2|}{3}=6\Rightarrow |a+2b+2c+2|=18.$$
3. 3

   先解出 $b,c$

   由前兩式：
   $$|4b+3c-2|=30,\qquad |3b+4c+5|=30.$$
   因為 $b,c<0$，所以 $4b+3c-2<0$，$3b+4c+5$ 的正負要另外判定；但不需要硬猜，直接把絕對值拆成兩種情形，並利用兩式聯立。
   
   先看若
   $$4b+3c-2=-30,\quad 3b+4c+5=-30,$$
   則得到
   $$4b+3c=-28,\quad 3b+4c=-35,$$
   解得
   $$b=-1,\ c=-8,$$
   符合 $b,c<0$。
4. 4

   求 $a$

   將 $b=-1, c=-8$ 代入第三式：
   $$|a+2(-1)+2(-8)+2|=18$$
   即
   $$|a-16|=18.$$
   因為 $a<0$，所以 $a-16<0$，故
   $$a-16=-18,$$
   得到
   $$a=-2.$$
5. 5

   算總和

   因此
   $$a+b+c=-2+(-1)+(-8)=-11.$$
   所以答案是 $-11$。

關鍵觀念：#點到平面距離 #聯立方程 #對稱性