114學測數學A 第13題 詳解

拋物對稱・餘式定理 · 選填 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   題目在考什麼

   這題的核心有兩個。第一，$f(x)$ 除以 $x+6$ 的餘式是 $3$，所以可以把 $f(x)$ 寫成 $f(x)=(x+6)q(x)+3$。第二，$q(x)$ 是三次多項式除法後的商式，且它在 $x=-6$ 有最大值 $8$，這會直接告訴我們 $q(x)$ 的圖形在 $x=-6$ 這一點有頂點。因為 $f(x)$ 的式子就是把 $q(x)$ 做線性伸縮再平移，所以 $f(x)$ 的對稱中心也會跟著出來。
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   由餘式寫出關係式

   由多項式除法，可得 $f(x)=(x+6)q(x)+3$。代入 $x=-6$，立刻得到 $f(-6)=3$。這表示 $y=f(x)$ 的圖形一定通過點 $(-6,3)$。
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   利用商式的極值

   已知 $q(x)$ 在 $x=-6$ 有最大值 $8$，所以 $q(-6)=8$。因為 $f(x)=(x+6)q(x)+3$，在 $x=-6$ 附近，$q(x)$ 的頂點資訊會對應到 $f(x)$ 的中心位置。這裡的關鍵是：三次函數若有對稱中心，中心點就是圖形的變化中心，而題目已經把這個中心鎖定在 $x=-6$。
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   判定對稱中心

   三次多項式的圖形若有對稱中心，該中心就是函數圖形的反曲點。又因為 $f(-6)=3$，而題目給的極值點正好在 $x=-6$，所以對稱中心坐標就是 $(-6,3)$。
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   結論

   因此，$y=f(x)$ 圖形的對稱中心坐標為 $(-6,3)$。

關鍵觀念：#多項式除法 #極值條件 #圖形對稱中心