114學測數學A 第13題 詳解

答案對稱中心 $(-6,\ 3)$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   除法原理

   本題考多項式除法原理與三次函數圖形的點對稱。由題意 $f(x)=(x+6)\,q(x)+3$，其中 $q(x)$ 為二次式。$q(x)$ 在 $x=-6$ 有最大值 $8$，用頂點式表示：$q(x)=p(x+6)^2+8$，其中 $p<0$。
2. 2

   乘回整理

   代回：$f(x)=(x+6)\left[p(x+6)^2+8\right]+3=p(x+6)^3+8(x+6)+3$。令 $t=x+6$，則 $f=pt^3+8t+3$，其中 $pt^3+8t$ 是 $t$ 的奇函數。
3. 3

   奇函數對稱

   奇函數圖形對原點點對稱，故 $y=pt^3+8t+3$ 的圖形對 $(t,y)=(0,3)$ 點對稱，換回 $x$ 即對 $(-6,3)$ 點對稱。代回檢查：$f(-6+t)+f(-6-t)=(pt^3+8t+3)+(-pt^3-8t+3)=6=2\times3$，對稱中心確實在此。答案為 $(-6,\,3)$。

關鍵觀念：#多項式除法 #極值條件 #圖形對稱中心

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