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114學測數學A 第12題 詳解

迴歸・單位換算 · 多選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

題目
某種合金由甲和乙兩種金屬組成，某生想知道其中金屬比例與合金的波長關係。他做實驗測量「甲占比為 x%x\% 的合金所對應的波長 yy（單位：奈米）」，並將得到的 20 筆數據 (xk,yk)(x_k,y_k)，k=1,⋯ ,20k=1,\cdots,20，在 xyxy 平面上標出對應的點，其迴歸直線（最適直線）為 y=21.3x−40y=21.3x-40。
為符合投稿規範，須將報告描述為「乙占比為 u%u\% 的合金所對應的波長 vv（單位：微米）」，他將數據 (xk,yk)(x_k,y_k) 轉換為 (uk,vk)(u_k,v_k)，k=1,⋯ ,20k=1,\cdots,20，得到在 uvuv 平面的迴歸直線為 v=au+bv=au+b。已知 1 奈米 =10−9=10^{-9} 公尺，1 微米 =10−6=10^{-6} 公尺。試選出正確的選項。
(1) uk=100−xku_k=100-x_k，k=1,⋯ ,20k=1,\cdots,20
(2) vk=1000ykv_k=1000y_k，k=1,⋯ ,20k=1,\cdots,20
(3) u1,u2,u3,…,u20u_1,u_2,u_3,\ldots,u_{20} 的標準差等於 x1,x2,x3,…,x20x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{20} 的標準差
(4) b=2.09b=2.09
(5) 某生發現有另一筆數據 (u21,v21)(u_{21},v_{21})，且滿足 v21=au21+bv_{21}=au_{21}+b；若將這 21 筆數據 (uk,vk)(u_k,v_k)，k=1,⋯ ,21k=1,\cdots,21，在 uvuv 平面上標出對應的點，則其迴歸直線仍為 v=au+bv=au+b

答案(1)(3)(4)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    轉換判(1)(2)

    本題考資料經線性變換後迴歸直線的變化。合金只由甲、乙組成，占比合計 100%100\%，故 uk=100−xku_k=100-x_k，(1) 正確。單位換算：11 奈米 =10−9=10^{-9} 公尺、11 微米 =10−6=10^{-6} 公尺，故 11 奈米 =10−3=10^{-3} 微米，換算應為 vk=yk1000v_k=\dfrac{y_k}{1000}，(2) 寫成 vk=1000ykv_k=1000y_k 方向相反，錯誤。
  2. 2

    標準差判(3)

    uk=100−xku_k=100-x_k 相當於把資料「變號再平移」：平移不改變離散程度，乘上 −1-1 也只把散布左右翻轉，標準差 σu=∣−1∣⋅σx=σx\sigma_u=|-1|\cdot\sigma_x=\sigma_x，(3) 正確。
  3. 3

    求 b 判(4)

    兩變數各自做一次線性變換時，迴歸直線跟著同一組轉換式變換。把 x=100−ux=100-u、y=1000vy=1000v 代入 y=21.3x−40y=21.3x-40：1000v=21.3(100−u)−40=2090−21.3u1000v=21.3(100-u)-40=2090-21.3u，得 v=−0.0213u+2.09v=-0.0213u+2.09，故 a=−0.0213a=-0.0213、b=2.09b=2.09，(4) 正確。
  4. 4

    加點判(5)

    最小平方法的迴歸直線滿足兩條正規方程：殘差總和為 00、殘差與 uu 的乘積和為 00。第 2121 筆資料恰落在 v=au+bv=au+b 上，殘差為 00，加入後兩條件仍同時成立，故 2121 筆資料的迴歸直線仍是 v=au+bv=au+b，(5) 正確。綜合以上，答案選 (1)(3)(4)(5)。
答案
(1)(3)(4)(5)

關鍵觀念：#迴歸直線 #變數轉換 #標準差 #最小平方法

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常見卡點
單位換算的方向最容易弄反：奈米是 10−910^{-9} 公尺、微米是 10−610^{-6} 公尺，奈米比較小，所以 vk=yk÷1000v_k=y_k\div1000。一旦寫成 vk=1000ykv_k=1000y_k，不只 (2) 判錯，(4) 的 bb 也會算成 20900002090000 這種離譜數字——換算完先用數量級檢查一次。

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