114學測數學A 第12題 詳解

迴歸・單位換算 · 多選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先看題目在考什麼

   這題核心有兩件事：第一，原本的 $x$ 變成「乙占比」，所以要做百分比互補；第二，$y$ 的單位從奈米改成微米，所以要做單位換算。再來，迴歸直線在做線性變換後，斜率與截距會跟著改變，但點的分散程度也可能有固定倍率的變化。
2. 2

   判斷新變數 $u$

   原本 $x$ 是「甲占比為 $x\%$」，因為合金只有甲、乙兩種金屬，所以乙占比就是 $100\%-x\%$。因此對每一筆資料都有 $u_k=100-x_k$。所以選項 (1) 正確。
3. 3

   判斷新變數 $v$

   題目說 $y$ 的單位是奈米，$v$ 的單位是微米。因為 $1\,\mu\text{m}=10^{-6}\text{ m}$、$1\,\text{nm}=10^{-9}\text{ m}$，所以 $1\,\mu\text{m}=10^3\,\text{nm}$。因此數值上要把奈米換成微米，應該是 $v_k=\dfrac{y_k}{1000}$，不是 $1000y_k$。所以選項 (2) 錯。
4. 4

   看標準差會不會變

   標準差對「全部資料同加或同減一個常數」不變。這裡 $u_k=100-x_k$，其實就是先把 $x_k$ 全部減去一個常數 $100$，再取相反方向的平移形式；而標準差只看資料離平均數的散布，不受平移影響。因此 $u_1,u_2,\ldots,u_{20}$ 的標準差和 $x_1,x_2,\ldots,x_{20}$ 的標準差相等，選項 (3) 正確。
5. 5

   把迴歸直線換成新座標

   原迴歸直線是 $y=21.3x-40$。由前兩步可知 $u=100-x$，且 $v=\dfrac{y}{1000}$，所以 $x=100-u$、$y=1000v$。代入原式：$$1000v=21.3(100-u)-40.$$整理得 $$1000v=2130-21.3u-40=2090-21.3u,$$所以 $$v=-0.0213u+2.09.$$因此 $b=2.09$，選項 (4) 正確。
6. 6

   判斷加入新點後迴歸線是否不變

   迴歸直線 $v=au+b$ 具有一個重要性質：若某一點 $(u_{21},v_{21})$ 正好落在這條直線上，也就是滿足 $v_{21}=au_{21}+b$，那麼這一點對殘差是零。把這筆資料加入後，原本所有點對該直線的總體最小平方法條件不會被破壞，因此以這 21 筆資料重新做迴歸，最適直線仍是同一條 $v=au+b$。所以選項 (5) 正確。
7. 7

   收束答案

   逐項判斷後，正確選項是 (1)(3)(4)(5)。

關鍵觀念：#迴歸直線 #變數轉換 #標準差 #最小平方法