114學測數學A 第11題 詳解

答案(3)(4)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   角平分線比例

   本題考平面向量的分點表示與角平分線性質。設 $\angle ABC$ 的平分線交 $\overline{AC}$ 於 $E$，由角平分線比例性質 $\overline{AE}:\overline{EC}=\overline{BA}:\overline{BC}=6:4=3:2$，故 $\overrightarrow{AE}=\dfrac35\overrightarrow{AC}$；又 $D$ 為 $\overline{AB}$ 中點，$\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$。
2. 2

   解P判(1)(2)

   $P$ 在 $\overline{CD}$ 上：$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+s(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\dfrac s2\overrightarrow{AB}+(1-s)\overrightarrow{AC}$；$P$ 也在 $\overline{BE}$ 上：$\overrightarrow{AP}=(1-t)\overrightarrow{AB}+\dfrac{3t}5\overrightarrow{AC}$。比較係數：$\dfrac s2=1-t$、$1-s=\dfrac{3t}5$，解得 $t=\dfrac57$、$s=\dfrac47$。故 $\overrightarrow{AP}=\dfrac27\overrightarrow{AB}+\dfrac37\overrightarrow{AC}$，且 $\overrightarrow{CP}=\dfrac47\overrightarrow{CD}$。代回檢查：$\overrightarrow{AC}+\dfrac47\left(\dfrac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac27\overrightarrow{AB}+\dfrac37\overrightarrow{AC}$，兩條線算出的 $P$ 一致。於是 (1) 說 $\overline{CP}=\dfrac37\overline{CD}$（實為 $\dfrac47$）錯誤；(2) 把兩係數對調了，也錯誤。
3. 3

   餘弦判(3)

   由餘弦定理：$\cos\angle BAC=\dfrac{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2-\overline{BC}^2}{2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}}=\dfrac{36+25-16}{2\cdot6\cdot5}=\dfrac{45}{60}=\dfrac34$，(3) 正確。
4. 4

   面積判(4)

   $\sin\angle BAC=\sqrt{1-\dfrac9{16}}=\dfrac{\sqrt7}4$，$\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac12\cdot6\cdot5\cdot\dfrac{\sqrt7}4=\dfrac{15\sqrt7}4$。$D$ 是 $\overline{AB}$ 中點，$\triangle ACD$ 面積為其一半 $\dfrac{15\sqrt7}8$；$P$ 在 $\overline{CD}$ 上且 $\overline{CP}=\dfrac47\overline{CD}$，$\triangle ACP$ 與 $\triangle ACD$ 同以 $A$ 為頂點、底在直線 $CD$ 上，面積比等於底的比，故 $\triangle ACP$ 面積 $=\dfrac47\cdot\dfrac{15\sqrt7}8=\dfrac{15\sqrt7}{14}$，(4) 正確。
5. 5

   內積判(5)

   $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\cdot5\cdot\dfrac34=\dfrac{45}2$，$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=25$。故 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac27\overrightarrow{AB}+\dfrac37\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac27\cdot\dfrac{45}2+\dfrac37\cdot25=\dfrac{45}7+\dfrac{75}7=\dfrac{120}7$，(5) 正確。綜合以上，答案選 (3)(4)(5)。

關鍵觀念：#角平分線定理 #三角形面積 #向量與內積

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