114學測數學A 第11題 詳解

角平分・座標 · 多選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先看觀念

   這題同時考三個核心：第一是角平分線定理，第二是中點引出的線段分比，第三是用邊長求角度、面積與內積。先把點 $P$ 在 $CD$ 上的位置求出來，後面五個選項就能一口氣判定。
2. 2

   設比求點

   因為 $D$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，所以 $AD=DB=3$。又 $BP$ 是 $\angle ABC$ 的角平分線，且 $P$ 在 $\overline{CD}$ 上，所以在 $\triangle BCD$ 中由角平分線定理得
   $$\frac{CP}{PD}=\frac{BC}{BD}=\frac{4}{3}.$$
   因此
   $$CP:PD=4:3, \quad CP=\frac{4}{7}CD, \quad PD=\frac{3}{7}CD.$$
   所以選項 (1) 的 $\overline{CP}=\dfrac{3}{7}\overline{CD}$ 是錯的。
3. 3

   判斷選項三

   由餘弦定理在 $\triangle ABC$ 中，
   $$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\angle BAC.$$
   代入 $BC=4,\ AB=6,\ AC=5$：
   $$16=36+25-60\cos\angle BAC,$$
   $$60\cos\angle BAC=45,$$
   $$\cos\angle BAC=\frac{3}{4}.$$
   所以選項 (3) 正確。
4. 4

   判斷選項二

   把 $A$ 當原點，令
   $$\overrightarrow{AB}=\mathbf b,\quad \overrightarrow{AC}=\mathbf c.$$
   因為 $D$ 是 $AB$ 中點，所以
   $$\overrightarrow{AD}=\frac12\mathbf b.$$
   又由上一步得到 $CP:PD=4:3$，所以 $P$ 內分 $CD$，其向量可寫成
   $$\overrightarrow{AP}=\frac{3\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{AD}}{7}.$$
   代入 $\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$，得
   $$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}+\frac{4}{7}\cdot\frac12\overrightarrow{AB} =\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}.$$
   所以選項 (2) 的係數對調了，是錯的。
5. 5

   判斷選項五

   先算內積 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$：
   $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB||AC|\cos\angle BAC =6\times 5\times\frac34=\frac{45}{2}.$$
   又
   $$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}.$$
   所以
   $$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC} =\frac{2}{7}(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})+\frac{3}{7}(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}).$$
   因為 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=|AC|^2=25$，故
   $$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC} =\frac{2}{7}\cdot\frac{45}{2}+\frac{3}{7}\cdot 25 =\frac{45}{7}+\frac{75}{7} =\frac{120}{7}.$$
   所以選項 (5) 正確。
6. 6

   判斷選項四

   先算面積 $[\triangle ABC]$：
   $$[\triangle ABC]=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC.$$
   由 $\cos\angle BAC=\frac34$，可得
   $$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{\sqrt7}{4}.$$
   因此
   $$[\triangle ABC]=\frac12\cdot 6\cdot 5\cdot \frac{\sqrt7}{4} =\frac{15\sqrt7}{4}.$$
   接著看 $\triangle ACP$。因為 $P$ 在 $CD$ 上，且 $C,P,D$ 共線，所以 $\triangle ACP$ 與 $\triangle ACD$ 共用從 $A$ 到 $CD$ 的高，面積比等於底邊比：
   $$\frac{[\triangle ACP]}{[\triangle ACD]}=\frac{CP}{CD}=\frac47.$$
   再由 $D$ 是 $AB$ 中點，$[\triangle ACD]=[\triangle BCD]$，且
   $$[\triangle ABC]=[\triangle ACD]+[\triangle BCD]=2[\triangle ACD],$$
   所以
   $$[\triangle ACD]=\frac{15\sqrt7}{8}.$$
   故
   $$[\triangle ACP]=\frac47\cdot\frac{15\sqrt7}{8}=\frac{15\sqrt7}{14}.$$
   因此選項 (4) 正確。
7. 7

   收束答案

   逐項判定結果：
   (1) 錯；(2) 錯；(3) 對；(4) 對；(5) 對。
   所以正確選項是 **(3)(4)(5)**，與官方答案一致。

關鍵觀念：#角平分線定理 #三角形面積 #向量與內積