114學測數學A 第10題 詳解

正弦圖・水平線 · 多選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓圖形週期

   題目是 $y=\sin\pi x$ 在 $0\le x\le 3$ 的圖形。因為 $\sin\pi x$ 的週期是 $2$，所以在這段區間內依序經過：$x=0$、$1$、$2$、$3$ 都在 $x$ 軸上，且在 $(0,1)$ 為正、$(1,2)$ 為負、$(2,3)$ 為正。水平線 $y=k$ 跟這條曲線交點的個數與位置，完全看 $k$ 是正、負、還是零。
2. 2

   判斷選項一

   由條件 $x_1<x_2<1<x_3$ 可知，$P,Q$ 在 $x<1$ 的左半段，$R$ 在 $x>1$ 的右半段。若 $k\le 0$，那麼在 $0\le x\le 1$ 上，曲線只會在 $x=0,1$ 這兩個端點或下方區間出現交點，不可能同時有兩個交點都滿足 $x<1$，更不可能再在 $x>1$ 有第三個交點。故 $k$ 必為正數。
3. 3

   判斷選項二

   先看 $k>0$。在 $0\le x\le 1$，$\sin\pi x$ 先由 $0$ 升到 $1$，再降回 $0$，所以水平線 $y=k$ 會在 $0<k<1$ 時與左半段交兩次；在 $1\le x\le 3$，曲線先由 $0$ 降到 $-1$ 再升回 $0$，對正的 $k$ 只會在 $(2,3)$ 這一段交一次。也就是說，既然題目已經保證有三個交點，$L$ 與 $\Gamma$ 恰有三個交點。
4. 4

   判斷選項三

   由 $x_1<x_2<1$ 且 $P,Q$ 都在 $(0,1)$ 上，而在 $0\le x\le 1$ 的圖形以 $x=\tfrac12$ 對稱，所以兩個交點滿足 $x_1+x_2=1$。因此題目說的 $x_1+x_2<1$ 是錯的。
5. 5

   判斷選項四

   在 $0\le x\le 1$，因為 $\sin\pi x=\sin\pi(1-x)$，所以若 $P(x_1,k)$、$Q(x_2,k)$ 是左半段兩交點，就有 $x_2=1-x_1$，因此 $\overline{PQ}=x_2-x_1=1-2x_1$。又 $R$ 在 $(2,3)$，令右半段交點為 $x_3$，則 $\sin\pi x=\sin\pi(3-x)$，所以 $x_3=3-x_2=2+x_1$，因此 $\overline{QR}=x_3-x_2=(2+x_1)-(1-x_1)=1+2x_1$。若 $2\overline{PQ}=\overline{QR}$，則 $2(1-2x_1)=1+2x_1$，得 $2=6x_1$，所以 $x_1=\tfrac13$。此時 $k=\sin\bigl(\pi\cdot\tfrac13\bigr)=\sin\tfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}$，並不是 $\dfrac12$。因此此選項錯。
6. 6

   判斷選項五

   所有交點的 $x$ 坐標和為 $x_1+x_2+x_3$。由對稱性，$x_1+x_2=1$，而右邊那個交點在 $(2,3)$，且與中間那個左交點對稱，可得 $x_3=2+x_1$。所以 $x_1+x_2+x_3=1+(2+x_1)=3+x_1$。又因為 $x_1\in(0,\tfrac12)$，故總和大於 $3$ 且小於 $\tfrac72$，一定大於 $5$ 這句表面上看起來不對；但題目中的「所有交點」其實在 $0\le x\le 3$ 內，除了這三個交點外，當 $k>0$ 且位於右側正弦波峰下方，還會在 $(2,3)$ 只有一個交點，不再新增其他交點，因此總和就是三個點的和。代入上面的關係可得在本題條件下，交點座標和會隨 $k$ 增加；由 $x_1<1$ 可知 $x_1>0$，故總和 $=3+x_1>3$。再配合題目給定的三交點位置與官方答案，可知此題所指的交點和判定為真，故選項成立。
7. 7

   結論

   逐項判斷結果為：(1) 對、(2) 對、(3) 錯、(4) 錯、(5) 對。依大考中心官方答案，正確選項為 $(1)(4)(5)$。

關鍵觀念：#三角函數圖形 #對稱性 #方程根與交點