114學測數學A 第10題 詳解

答案(1)(4)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   圖形先畫好

   本題考三角函數圖形與水平線的交點。$y=\sin\pi x$ 的週期為 $\dfrac{2\pi}{\pi}=2$，在 $0\le x\le 3$ 上依序是：$[0,1]$ 一座正波峰、$[1,2]$ 一座負波谷、$[2,3]$ 又一座正波峰。條件 $x_1<x_2<1<x_3$ 表示水平線 $y=k$ 在第一座峰上就切出兩個交點。
2. 2

   判(1)(2)

   要在 $[0,1]$ 內有兩個交點，必須 $0<k<1$：若 $k=0$，$x<1$ 的交點只有 $x=0$ 一個；若 $k<0$，交點全落在 $(1,2)$ 內、都大於 $1$；若 $k=1$ 只切到峰頂一點。故 (1) 正確。而 $0<k<1$ 時 $[2,3]$ 的峰同樣被切出兩點 $x_3<x_4$，交點共 $4$ 個，(2) 錯誤。
3. 3

   對稱判(3)

   第一座峰的圖形對稱於直線 $x=\dfrac12$，兩交點左右對稱，故 $x_1+x_2=1$，是「等於 $1$」而非「小於 $1$」，(3) 錯誤。
4. 4

   設 t 判(4)

   設 $x_1=t$（$0<t<\dfrac12$），由對稱性 $x_2=1-t$；第三座峰是第一座右移 $2$ 而得，故 $x_3=2+t$。於是 $\overline{PQ}=x_2-x_1=1-2t$、$\overline{QR}=x_3-x_2=1+2t$。由 $2\overline{PQ}=\overline{QR}$ 得 $2(1-2t)=1+2t$，解得 $t=\dfrac16$，故 $k=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$，(4) 正確。
5. 5

   總和判(5)

   四個交點兩兩對稱：$x_1+x_2=1$（對稱軸 $x=\dfrac12$）、$x_3+x_4=5$（對稱軸 $x=\dfrac52$），所有交點的 $x$ 坐標之和為 $6>5$，(5) 正確。綜合以上，答案選 (1)(4)(5)。

關鍵觀念：#三角函數圖形 #對稱性 #方程根與交點

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