114學測數學A 第9題 詳解

答案(2)(4)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   判別式串鏈

   本題考二次方程式的判別式。「有實根」給 $b^2-4c\ge0$，「沒有實根」給 $(b+2)^2-4c<0$。切入點：把兩條合寫成一條不等式鏈 $(b+2)^2<4c\le b^2$，之後所有選項都從這條鏈讀答案。
2. 2

   驗選項一二

   由鏈的兩端：$(b+2)^2<b^2$，展開 $b^2+4b+4<b^2$ 得 $4b+4<0$，即 $b<-1<0$，選項 (2) 正確。又 $4c>(b+2)^2\ge0$，故 $c>0$，選項 (1) 說 $c<0$，錯。
3. 3

   驗選項三

   選項 (3) 的判別式是 $(b+1)^2-4c$，正負無法確定，舉例說明：取 $b=-3$，鏈變成 $1<4c\le9$。取 $4c=2$：$(b+1)^2-4c=4-2=2>0$ 有實根；取 $4c=8$：$4-8=-4<0$ 沒有實根。兩種情形都合法，選項 (3) 錯。
4. 4

   驗選項四

   選項 (4)：$x^2+(b+2)x-c=0$ 的判別式為 $(b+2)^2-4(-c)=(b+2)^2+4c$。已知 $c>0$，平方項又非負，判別式必為正，一定有（相異）實根，選項 (4) 正確。
5. 5

   驗選項五

   選項 (5)：$x^2+(b-2)x+c=0$ 的判別式 $=(b-2)^2-4c=b^2-4b+4-4c=(b^2-4c)+(-4b+4)$。前括號由鏈知 $\ge0$；後括號因 $b<-1$ 得 $-4b>4$，故 $-4b+4>8>0$。相加必為正，一定有實根，選項 (5) 正確。答案選 (2)(4)(5)。

關鍵觀念：#二次方程式 #判別式 #實根 #參數範圍

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