114學測數學A 第9題 詳解

判別式・範圍 · 多選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   看懂題意

   題目給兩個二次方程式：$x^2+bx+c=0$ 有實根，表示它的判別式 $\Delta_1=b^2-4c\ge 0$；而 $x^2+(b+2)x+c=0$ 沒有實根，表示它的判別式 $\Delta_2=(b+2)^2-4c<0$。這兩個條件要一起用，先把 $b$、$c$ 的範圍夾出來。
2. 2

   建立關係

   由 $b^2-4c\ge 0$ 與 $(b+2)^2-4c<0$，可得
   $$b^2\ge 4c>(b+2)^2-4?$$
   更直接比較兩式：
   $$b^2-4c\ge 0,\quad (b+2)^2-4c<0$$
   相減得
   $$(b+2)^2-b^2<0$$
   即
   $$4b+4<0$$
   所以 $b<-1$。再由 $(b+2)^2-4c<0$ 得
   $$c>\frac{(b+2)^2}{4}$$
   而由 $b^2-4c\ge 0$ 得
   $$c\le \frac{b^2}{4}$$
   因此
   $$\frac{(b+2)^2}{4}<c\le \frac{b^2}{4}$$
3. 3

   判斷選項一、二、三

   (1) $c<0$：由 $c>\dfrac{(b+2)^2}{4}$，右邊是平方後再除以四，必為非負，所以 $c$ 不一定小於零。這項錯。
   
   (2) $b<0$：前一步已得 $b<-1$，當然推出 $b<0$。這項對。
   
   (3) $x^2+(b+1)x+c=0$ 有實根：看判別式
   $$\Delta_3=(b+1)^2-4c$$
   由 $c>\dfrac{(b+2)^2}{4}$，可知
   $$\Delta_3<(b+1)^2-(b+2)^2=-2b-3$$
   因為 $b<-1$，所以右邊 $-2b-3$ 不一定非負，不能保證有實根。再換個更直接的方式：由
   $$c>\frac{(b+2)^2}{4}$$
   得到
   $$4c>(b+2)^2$$
   所以
   $$\Delta_3=(b+1)^2-4c<(b+1)^2-(b+2)^2=-2b-3$$
   而當 $b=-2$ 時，$\Delta_3=1-4c<1-4\cdot1= -3<0$，可見不一定有實根。這項錯。
4. 4

   判斷選項四、五並收尾

   (4) $x^2+(b+2)x-c=0$ 有實根：判別式為
   $$\Delta_4=(b+2)^2+4c$$
   因為 $c>\dfrac{(b+2)^2}{4}$，所以
   $$4c>(b+2)^2$$
   因此
   $$\Delta_4>(b+2)^2+(b+2)^2=2(b+2)^2\ge 0$$
   故一定有實根。這項對。
   
   (5) $x^2+(b-2)x+c=0$ 有實根：判別式為
   $$\Delta_5=(b-2)^2-4c$$
   由 $c\le \dfrac{b^2}{4}$，得
   $$\Delta_5\ge (b-2)^2-b^2=4-4b$$
   又因為 $b<-1$，所以 $4-4b>0$，故一定有實根。這項對。
   
   所以正確選項是 $(2)(4)(5)$。

關鍵觀念：#二次方程式 #判別式 #實根 #參數範圍