114學測數學A 第8題 詳解

指數化圓 · 多選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   觀念點破

   先把題目的指數方程式改寫成同底。這題真正考的是「指數式化簡後，能不能看出點的軌跡是圓」，再進一步判斷選項。
2. 2

   化簡方程

   原式為 $\dfrac{2^{x^2}}{8}=\dfrac{4^x}{2^{y^2}}$。因為 $8=2^3$、$4^x=2^{2x}$，所以
   $$\frac{2^{x^2}}{2^3}=\frac{2^{2x}}{2^{y^2}}.$$
   移項得
   $$2^{x^2-3}=2^{2x-y^2}$$
   因此指數相等：
   $$x^2-3=2x-y^2.$$
3. 3

   整理成圖形

   把式子移到同一邊：
   $$x^2-2x+y^2=3.$$
   配方得
   $$\left(x-1\right)^2+y^2=4.$$
   所以所有可能的點 $P(x,y)$ 構成以 $(1,0)$ 為圓心、半徑為 $2$ 的圓。
4. 4

   逐項判析

   (1) 當 $x=3$ 時，代入 $\left(x-1\right)^2+y^2=4$，得
   $$\left(3-1\right)^2+y^2=4$$
   $$4+y^2=4$$
   $$y=0.$$
   只有一個解 $(3,0)$，不是兩個，所以錯。
   
   (2) 若 $(a,b)$ 滿足方程式，則 $\left(a-1\right)^2+b^2=4$。但點 $(-a,-b)$ 代入得
   $$\left(-a-1\right)^2+(-b)^2=\left(a+1\right)^2+b^2,$$
   一般不等於 $4$，所以不一定成立，錯。
   
   (3) 由 $\left(x-1\right)^2+y^2=4$ 可知軌跡是一個圓，對。
   
   (4) 若在直線 $x+y=4$ 上，令 $y=4-x$，代入圓方程：
   $$\left(x-1\right)^2+(4-x)^2=4.$$
   化簡得
   $$2x^2-10x+13=0.$$
   其判別式為
   $$\Delta=100-104=-4<0,$$
   沒有實數解，所以點不可能在此直線上，錯。
   
   (5) 求 $x-y$ 最大值。由圓心 $(1,0)$、半徑 $2$，要最大化 $x-y$，等同最大化向量 $(1,-1)$ 與點的位置投影。其最大值為
   $$1+2\sqrt{2}.$$
   因此此項正確。
5. 5

   結論

   所以正確選項為 $(3)(5)$。

關鍵觀念：#指數方程 #配方法 #圓與直線