114學測數學A 第8題 詳解

答案(3)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   同底化簡

   本題考指數律加圓方程式。先全部化成以 $2$ 為底：$8=2^3$、$4^x=2^{2x}$，原式變成 $2^{x^2-3}=2^{2x-y^2}$，同底則指數相等：$x^2-3=2x-y^2$。
2. 2

   配方成圓

   移項整理：$x^2-2x+y^2=3$，配方得 $(x-1)^2+y^2=4$——圓心 $(1,0)$、半徑 $2$ 的圓。所有點 $P$ 構成的圖形確為一個圓，選項 (3) 正確。防呆：取 $(3,0)$ 代回原式，左邊 $\dfrac{2^9}{8}=64$、右邊 $\dfrac{4^3}{2^0}=64$，吻合。
3. 3

   驗選項一二

   選項 (1)：$x=3$ 代入圓方程式得 $(3-1)^2+y^2=4$，即 $y^2=0$，只有 $y=0$ 一組解，不是相異 $2$ 個，錯。選項 (2)：$(3,0)$ 在圓上，但 $(-3,0)$ 代入得 $(-3-1)^2+0^2=16\neq4$——圓心不在原點，圖形對原點不對稱，錯。
4. 4

   驗選項四

   選項 (4)：圓心 $(1,0)$ 到直線 $x+y-4=0$ 的距離 $=\dfrac{|1+0-4|}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.12$，大於半徑 $2$，直線與圓不相交，$P$ 不可能落在這條直線上，錯。
5. 5

   驗選項五

   選項 (5)：設 $t=x-y$，點在直線 $x-y-t=0$ 上；此直線與圓有交點的條件是 $\dfrac{|1-0-t|}{\sqrt{2}}\le2$，即 $|t-1|\le2\sqrt{2}$，故 $1-2\sqrt{2}\le t\le1+2\sqrt{2}$，最大值 $1+2\sqrt{2}$ 可在切點取到，正確。答案選 (3)(5)。

關鍵觀念：#指數方程 #配方法 #圓與直線

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