114學測數學A 第7題 詳解

答案(2)(4)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   遞迴代入

   本題考遞迴數列與「平移成等比」的技巧，先老實地把前幾項算出來。由 $3a_{n+1}=a_n+n$ 得 $a_{n+1}=\dfrac{a_n+n}{3}$，故 $a_2=\dfrac{a_1+1}{3}=\dfrac{2+1}{3}=1$。選項 (1) 說 $a_2=2$，錯。
2. 2

   檢驗選項二

   代 $b_n$ 的定義：$b_2=a_2-\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{4}=1-1+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}$，選項 (2) 正確。順手算 $b_1=2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$，下一步要用。
3. 3

   檢驗選項三

   驗證 $\langle b_n\rangle$ 的公比：$b_{n+1}=a_{n+1}-\dfrac{n+1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{a_n+n}{3}-\dfrac{n+1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{a_n}{3}-\dfrac{n}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}\Big(a_n-\dfrac{n}{2}+\dfrac{3}{4}\Big)=\dfrac{1}{3}b_n$。公比是 $\dfrac{1}{3}$，不是 $\dfrac{2}{3}$；用數字對照也一樣：$\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{3/4}{9/4}=\dfrac{1}{3}$。選項 (3) 錯。
4. 4

   檢驗選項四

   把遞迴式兩邊同乘 $3^n$：$3^{n+1}a_{n+1}=3^n a_n+n\cdot 3^n$。起點 $3^1a_1=6$ 是正整數，而 $n\cdot 3^n$ 都是正整數，由數學歸納法，$3^n a_n$ 對所有正整數 $n$ 都是正整數。抽驗：$3^2a_2=9$、$3^3a_3=27$、$a_4=\dfrac{1+3}{3}=\dfrac{4}{3}$ 時 $3^4a_4=108$，都吻合。選項 (4) 正確。
5. 5

   檢驗選項五

   由公比 $\dfrac{1}{3}$ 得 $b_n=\dfrac{9}{4}\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{n-1}$，故 $b_{10}=\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{3^9}=\dfrac{9}{4\times19683}=\dfrac{1}{8748}$。比大小看分母：$8748<10000$，所以 $\dfrac{1}{8748}>\dfrac{1}{10000}=10^{-4}$，選項 (5) 錯。答案選 (2)(4)。

關鍵觀念：#數列遞迴 #等比數列 #數學歸納

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