114學測數學A 第7題 詳解

遞迴・換元 · 多選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   觀念

   題目給的是一個一階線性遞迴式 $3a_{n+1}=a_n+n$。這類題目的關鍵，是把右邊的「$+n$」消掉，改造出一個新的數列 $b_n$，讓它變成等比數列。題目已經提示 $b_n=a_n-\dfrac{n}{2}+\dfrac{3}{4}$，接下來直接代入檢查即可。
2. 2

   求 $b_{n+1}$

   由定義得
   $$b_{n+1}=a_{n+1}-\frac{n+1}{2}+\frac{3}{4}.$$
   又由 $3a_{n+1}=a_n+n$，可得
   $$a_{n+1}=\frac{a_n+n}{3}.$$
   代入上式：
   $$b_{n+1}=\frac{a_n+n}{3}-\frac{n+1}{2}+\frac{3}{4}.$$
   通分整理：
   $$b_{n+1}=\frac{4a_n+4n-6n-6+9}{12}=\frac{4a_n-2n+3}{12}.$$
   而
   $$b_n=a_n-\frac{n}{2}+\frac{3}{4}=\frac{4a_n-2n+3}{4},$$
   所以
   $$b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n.$$
3. 3

   先算初值

   由 $a_1=2$，
   $$b_1=a_1-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=2-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}.$$
   因此 $\langle b_n\rangle$ 是公比為 $\dfrac{1}{3}$ 的等比數列，且
   $$b_n=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.$$
4. 4

   逐項判析

   (1) $a_2$：
   $$3a_2=a_1+1=2+1=3,$$
   所以
   $$a_2=1,$$
   不是 $2$，故錯。
   
   (2) $b_2$：
   $$b_2=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{4},$$
   故對。
   
   (3) $\langle b_n\rangle$ 的公比：上面已知
   $$b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n,$$
   所以公比是 $\dfrac{1}{3}$，不是 $\dfrac{2}{3}$，故錯。
   
   (4) 證明 $3^n a_n$ 為正整數：由
   $$b_n=a_n-\frac{n}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1},$$
   得
   a_n=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}+\frac{n}{2}-\frac{3}{4}=rac{9}{4\cdot 3^{n-1}}+\frac{n}{2}-\frac{3}{4}.
   乘上 $3^n$：
   $$3^n a_n=3^n\cdot \frac{9}{4\cdot 3^{n-1}}+3^n\left(\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\right)=\frac{27}{4}+\frac{n3^n}{2}-\frac{3^{n+1}}{4}.$$
   更直接地，把遞迴式兩邊同乘 $3^n$ 可得
   $$3^{n+1}a_{n+1}=3^n a_n+n3^n,$$
   由 $3a_{n+1}=a_n+n$ 可知每一步都保持整數性；且初值 $3^1a_1=6$ 為正整數，因此可歸納得 $3^n a_n$ 皆為正整數，故對。
   
   (5) 因為
   $$b_n=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1},$$
   所以
   $$b_{10}=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{1}{4\cdot 3^7}=\frac{1}{8748}$$
   約為 $1.143\times 10^{-4}$，不小於 $10^{-4}$，故錯。
5. 5

   答案

   正確選項為 $(2)(4)$。

關鍵觀念：#數列遞迴 #等比數列 #數學歸納