108學年鷺江國中第1次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先寫出通項

   已知公差 $d=-8$、$a_{20}=0$。從第 $20$ 項出發最快：$a_n=a_{20}+(n-20)\times(-8)=-8(n-20)$。也就是項次每往後一項就少 $8$，第 $20$ 項之前的都是正數，之後的都是負數。
2. 2

   好用的對稱性質

   等差數列裡，只要兩項的項次和相同，兩項的和就相同。$10+30=40=20+20$，所以 $a_{10}+a_{30}=2a_{20}$；$17+25=42=21+21$，所以 $a_{17}+a_{25}=2a_{21}$。先把每個選項的項次和算出來，就知道要換成哪一項的兩倍。
3. 3

   檢查 (A)(B)(C)

   (A) $a_{21}=-8\times(21-20)=-8$，所以 $a_{17}+a_{25}=2\times(-8)=-16$，確實小於 $0$，成立。(B) $a_{23}=-8\times(23-20)=-24$，是負數，並不大於 $0$，不成立。(C) $a_{10}+a_{30}=2a_{20}=2\times0=0$，等於 $0$ 而不是大於 $0$，不成立。
4. 4

   檢查 (D) 並下結論

   (D) 項次和 $1+38=39$ 是奇數，配不成 $2a_{20}$，要拆成 $a_{19}+a_{20}$（$19+20=39$）。$a_{19}=-8\times(19-20)=8$、$a_{20}=0$，所以 $a_1+a_{38}=8$，是正數，並不小於 $0$，不成立。四個敘述中只有第一個成立，故選 (A)。

關鍵觀念：#等差數列 #通項 #不等式

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