108學年鷺江國中第2次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   別急著找公差

   題目給的是等差數列的首項與末項（最小內角 $68°$、最大內角 $172°$），卻沒給項數。公差要用 $(172-68)\div(n-1)$ 才算得出來，而 $n$ 正是要求的，所以從公差下手會繞回原地。換個方向，從「和」切入。
2. 2

   用首末項算總和

   等差數列的和等於「首項加末項，再乘項數，再除以 $2$」。這裡首項 $68$、末項 $172$、項數 $n$，所以 $n$ 個內角的總和是 $$\frac{(68+172)\times n}{2}=120n$$
3. 3

   另一個角度算同一個和

   這 $n$ 個角就是 $n$ 邊形的全部內角，內角和公式給出 $$(n-2)\times180=180n-360$$
4. 4

   兩式相等解出 n

   同一個總和寫成兩種樣子，把它們畫上等號：$$120n=180n-360$$ $$60n=360$$ $$n=6$$
5. 5

   檢查一次

   六邊形內角和是 $(6-2)\times180°=720°$；用等差數列算是 $\frac{(68+172)\times6}{2}=720°$，兩邊相符。公差為 $(172-68)\div5=20.8$，六個角依序是 $68°$、$88.8°$、$109.6°$、$130.4°$、$151.2°$、$172°$，都小於 $180°$，是合理的凸六邊形。所以 $n=6$。

關鍵觀念：#多邊形內角和 #等差數列

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