數列與級數

國中・高中 · 歷屆 222 題 · 跨 44 份考卷

等差、等比數列怎麼算？
這裡整理了108學年鷺江國中第1次段考、108學年鷺江國中第2次段考、109學年鷺江國中第3次段考、109學年鷺江國中第1次段考、109學年鷺江國中第2次段考、110學年鷺江國中第1次段考、110學年新莊國中第2次段考、110會考、111學年鷺江國中第1次段考、111學年新莊國中第2次段考、111學年新莊國中第1次段考、111分科測驗、111學測、112學年新莊國中第1次段考、112學年鷺江國中第1次段考、112分科測驗、112會考、112學測、113學年新莊國中第2次段考、113學年新莊國中第1次段考、113學年鷺江國中第2學期第1次段考、113學年鷺江國中第1次段考、113分科測驗、113會考、113學測、114學年鷺江國中第1次段考、114學年新莊國中第1次段考、114學年新莊國中第2次段考、114分科測驗、114學測、115分科測驗、115會考、115學測共 222 題數列與級數考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

等差數列×95 等比數列×65 等差級數×35 應用問題×22 公差×15 等比中項×11 數列規律×11 公比×10 通項公式×10 圖形規律×10 生活應用×8 求和公式×8 求和×7 應用列式×7 前n項和×4 數列×4 一般項×3 生活情境×3 指數律×3 規律×3 通項×3 插入項×3 等差中項×3 等差數列應用×3 項數×3 數線×3 一元二次方程式×2 公比性質×2 方程求解×2 列式應用×2 多邊形內角和×2 定義判斷×2 面積×2 首項×2 級數和×2 組合×2 規律推理×2 等比關係×2 遞迴數列×2 遞迴關係×2 數列求和×2 數列和×2 數列極限×2 聯立方程×2 二元一次方程式 二次規律 十字交乘法 三次多項式 三角形不等式 三角形邊長 三角函數 不等式 不等式比較 不等式夾擠 不等式求項數 不等式應用 公比正負 公比變換 公差性質 分段函數 分組規律 分組數列 分層求和 分數運算 分類討論 方格排列 比例縮放 比例關係 比與比值 四分位距 四分位數 外角和 正負判斷 正負號判斷 正負數 立體堆疊 交比(K值) 交錯級數 全距 列舉 因式分解 因數 多選判斷 多邊形外角 字串計數 收斂條件 百分比變化 百分率成長 判別 投影幾何 函數對應 函數關係式 奇偶分類 奇偶項和 定積分 性質判斷 直角三角形 空間規律 長方體 前n項和公式 相等比 相遇問題 負公比 韋達定理 乘積與和 倍增 倍數 倍數計數 根與係數關係 海龍公式 班級資訊 矩陣乘法 級數 級數符號 條件機率 畢氏定理 組合計數 規律排列 通項還原 連比 最大和 循環排列 插入中項 插入等差中項 握手問題 期望值 無窮等比級數 等比性質 等比數列辨別 等比數列應用 等差中項性質 等差關係 絕對值 項次關係 項數公式 項數限制 圓周角 極式表示 極限 極限行為 極值 極值判斷 圖形排列 對稱求和 對稱性質 對數 對數性質 對數換底 對數運算 對數運算律 對應項求值 德莫弗定理 數列正負 數列成員判斷 數列收斂 數列判斷 數列性質 數列的共同項 數列發散 數列遞迴 數列應用 數列變換 數學歸納 線段比 複合成長率 複利 複數 質數與合數 餘事件 餘數 黎曼和 整除性 機率遞迴關係 獨立事件 選擇題判斷 總和關係 點共線 邏輯推理

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 等差數列判斷108學年鷺江國中第1次段考數學 第1題
   最常見的失誤是只檢查前面一兩段的差就下結論。(C) 的前三段差都是 $3$，很容易直接勾成等差數列，一定要一路檢查到最後一段 $12-8=4$。另一個誤區是看到 (A) 全部都是 $0$ 就以為不成立；公差是 $0$ 也是等差數列，常數數列並沒有違反定義。
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2. 等差數列部分項和求全體和108學年鷺江國中第1次段考數學 第4題
   最常掉的坑是項數數錯：求出 $a_5=12$ 之後要乘的是項數 $9$，不是間隔數 $8$，用 $12\times8=96$ 就會落進 (C)，看起來很像對的。另一個錯是把 $36$ 直接當成 $a_1+a_9$ 去套求和公式，那是把三項的和誤當成兩項的和，算出來的數字在選項裡根本找不到。
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3. 等差級數應用推測量級範圍108學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
   最容易犯的錯是把「八個量級」全部當成有上限，算成 $480+40\times7=760$ 去找最大的一級，結果算出一個選項裡根本沒有的數。題目已經寫明第八量級是無限量級，有上限的只有前七級。檢查時最快的方法是把選項減掉 $480$，看差能不能被 $40$ 整除。
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4. 等差數列項次代數不等式判斷108學年鷺江國中第1次段考數學 第10題
   (C) 是最大的陷阱：$a_{10}+a_{30}=2a_{20}=0$ 其實算對了，卻因為「看起來不是負的」就當成大於 $0$ 勾下去。$0$ 既不大於 $0$ 也不小於 $0$，這種臨界的敘述一定要盯緊符號。另外 (D) 的項次和是奇數 $39$，要拆成 $a_{19}+a_{20}$，不能硬套成 $2a_{20}$。
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5. 三數成等差數列求公差108學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
   題目問的是公差不是 $x$，很多人解到 $x=2$ 就直接把 $2$ 填上去——這題剛好兩個都是 $2$，但那是巧合，一定要代回去算出三個數再相減才算數。另一個常錯的地方是中項關係寫成 $q=p+r$，那等於把中間項當成前後兩項的和，而它其實是平均，正確的是 $2q=p+r$。
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6. 等差級數已知相鄰兩項和求第15項與首項108學年鷺江國中第1次段考數學 第13題
   最常見的錯是把 $S_{15}-S_{14}$ 算成 $-450-418=-868$，忘了 $S_{14}$ 本身是負數、減負數要變成加。另一個坑是求首項時硬要先算公差：這題的公差是分數 $-\dfrac{2}{7}$，繞過去很容易算錯，直接用「首項加末項乘項數再除以二」的公式一步就能把首項解出來。
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7. 等差級數首末項和求中間三項和108學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
   很多人一看到 $a+g=108$ 就直接把 $108$ 填成答案，把「連續三項的和」和「頭尾兩項的和」混為一談。正確的做法是先把 $108$ 換算成中間項：$a+g=2d$ 得 $d=54$，連續三項的和才是 $3d=162$。記住等差數列裡「對稱的兩項相加」都等於中間那一項的兩倍。
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8. 已知兩項與和求項數108學年鷺江國中第1次段考數學 第15題
   最常見的錯是把「第 $4$ 項到第 $12$ 項」當成隔了 $12-4+1=9$ 個公差，算出 $d=\dfrac{32}{9}$ 這種怪數字。項與項之間的間隔數是項次直接相減，$12-4=8$，不要多加 $1$。另一個坑是題目問的是項數，把 $S_n$ 的式子列出來就停手，忘了還要回去解出 $n$。
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9. 已知兩項求前n項和公式108學年鷺江國中第1次段考數學 第16題
   這題要的是把 $12$ 項全部加起來的值，不是留一個含 $n$ 的式子。最常見的計算錯誤出在往回推首項：第 $3$ 項退到第 $1$ 項只退兩個公差，要寫 $a_1=a_3-2d$，寫成 $a_3-3d$ 就整組跑掉了。用「項次和相同、兩項和就相同」湊 $a_1+a_{12}$，可以完全避開這一步。
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10. 地板磁磚規律求灰色磁磚數量108學年鷺江國中第1次段考數學 第22題
    最常見的計算錯誤是解 $2(n-1)^2=338$ 時，除以 $2$ 得到 $(n-1)^2=169$ 之後忘了開平方，直接寫成 $n-1=169$、$n=170$，款式整個跑掉。第二個坑是算出第 $14$ 款之後只算到總格數 $435$ 就填上去，忘了題目要的是灰色，還得扣掉那 $338$ 塊白色。建議像最後一步那樣，用灰色本身的等差規律再驗算一次。
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11. 多邊形內角等差數列求邊數108學年鷺江國中第2次段考數學 第16題
    多數人卡在想先求公差：公差要用 $(172-68)\div(n-1)$，而 $n$ 正是題目要問的，繞回原地；這題的公差還是 $20.8$，不是整數，想硬湊整數就更走不下去。切入點其實在「和」：等差數列的和是首項加末項再乘項數再除以 $2$，也就是 $120n$，而 $n$ 邊形的內角和是 $(n-2)\times180$，兩邊相等一個式子就解完。
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12. 擁抱總次數求人數列式應用109學年鷺江國中第3次段考數學 第16題
    最常見的錯是漏掉除以 2，直接去解 $n(n-1)=435$。這條路湊不出整數：$21\times20=420$、$22\times21=462$，435 卡在中間，這正是在提醒你「互相擁抱」的那一次被算了兩遍。另一個坑是算出 $870=29\times30$ 之後順手把 29 寫成答案；式子是 $n(n-1)$，其中較大的 30 才是人數，29 是扣掉自己以後的對象人數。
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13. 套餐份數列式應用109學年鷺江國中第3次段考數學 第17題
    這題最狠的陷阱在最後一步：辛辛苦苦解出 $x=25$，就直接把 25 寫上去交卷。可是 $x$ 只是輔助的未知數，題目問的是份數 $4x$，答案應該是 100 份。列式之前先把「$x$ 代表什麼」寫在旁邊，算完再回頭確認題目問的是哪一個量。另外 $x=-22$ 也解得出來，但份數不可能是負的，必須捨去。
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14. 等比數列各項乘常數是非判斷109學年鷺江國中第1次段考數學 第1題
    最常見的錯是把「每一項乘 5」和「每一項加 5」混在一起。加 5 才會破壞等比關係：$1,2,4$ 的公比是 $2$，每項加 $5$ 之後變成 $6,7,9$，而 $7\div6$ 和 $9\div7$ 並不相等，就不再是等比數列了。另一個錯是以為乘 $5$ 之後公比也要跟著變成原來的 $5$ 倍，其實那個 $5$ 在相鄰兩項相除時會被約掉，公比一點都沒變。
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15. 等差級數求和公式誤用是非判斷109學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    只要看到一串數連加就反射性套上「項數乘首項加末項再除以 2」，是這題最大的陷阱。這個公式靠的是頭尾配對的和相等，但這裡 $2+32=34$、$4+16=20$，兩對的和根本不一樣，配對法立刻破功。判斷時養成習慣：先做兩次減法、再做兩次除法，差固定才是等差，比固定才是等比。
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16. 等比數列第六項求值109學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
    兩個最容易掉的坑都出在指數。一是把第六項算成公比乘 $6$ 次：$\dfrac{2}{9}\times(-3)^6=\dfrac{2}{9}\times729=162$，剛好落在 (D)。二是忘記公比是負的，算成 $\dfrac{2}{9}\times3^5=54$，剛好落在 (C)。請牢牢記住：第 $n$ 項只乘 $n-1$ 次公比，而且負數的奇數次方仍然是負的。
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17. 抖音MV觀看次數等比數列應用109學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
    解到 $3^{\,n-1}=3^5$ 之後，很多人直接把指數 $5$ 當成天數，那會落在 (B)，可是那個 $5$ 是 $n-1$ 不是 $n$。用小數字檢查最清楚：第一天 $5$ 萬、第二天 $15$ 萬、第三天 $45$ 萬，第 $3$ 天只乘過 $2$ 次 $3$。另一個錯是把「每天變 $3$ 倍」看成「每天多 $3$ 萬」，那就變成等差數列，算出來的天數會大得離譜。
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18. 等差數列平移後公差求值109學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最常見的錯是以為「每一項各減掉一個數，公差不會變」而直接答 $-3$，落在 (A)；但這裡減掉的 $3,8,13$ 自己也在變，每次多減 $5$。另一種是只算減掉那部分的變化 $-8-(-3)=-5$ 就填答，落在 (B)，忘了原本還有 $-3$ 要一起算。新公差其實是 $-3$ 再加上 $-5$，等於 $-8$。把三項實際寫出來再相減最保險。
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19. 等差數列間隔項差值求值109學年鷺江國中第1次段考數學 第10題
    最常見的錯是把 $15$ 直接當成公差，算出 $400\times15=6000$，這個值不在選項裡，反而容易察覺。真正危險的是項數差數錯：$a_{20}$ 到 $a_{60}$ 之間是 $40$ 個公差，不是 $41$ 個也不是 $39$ 個。若誤用 $41$，會算出 $\dfrac{15}{41}\times400\approx146.3$ 這種零碎數字，答案整不整齊正好可以拿來檢查有沒有數錯。
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20. 等差級數性質錯誤選項判斷109學年鷺江國中第1次段考數學 第11題
    $36$ 這個數字其實正是 $a_2+a_4$ 的值，算出 $36$ 之後一恍神把它對到 $a_3$ 上，就會覺得 (A) 沒問題而去別的選項裡亂挑。另一個常見失誤是不熟等差中項，看到 (C) 的 $a_2+a_4$ 覺得兩項都不知道、算不出來，就判它錯誤。其實 $a_2$ 和 $a_4$ 在 $a_3$ 的左右兩側且距離一樣遠，相加必定是 $2a_3$。
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21. 會議室座位排數等差級數應用109學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    套 $S=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ 時，最常見的錯是把題目給的 $36$ 當成末項代進去，算成 $\dfrac{19\times(18+36)}{2}=513$，剛好落在 (A)。$36$ 是第 $10$ 排不是第 $19$ 排，末項要自己往後推到 $54$。另外從第 $10$ 排回推第 $1$ 排是跨 $9$ 個公差不是 $10$ 個，多減一次會把首項誤算成 $16$。
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22. 兩人逐頁寫數等差數列對應值109學年鷺江國中第1次段考數學 第15題
    兩個常見失誤都出在「第幾項要乘幾次公差」。第 $46$ 頁只加了 $45$ 次 $6$，若寫成 $1+6\times46=277$ 就落在 (A)。另一個是算完 $6\times45=270$ 之後忘了再加首項 $1$，直接填 (D)。穩當的作法是先把「究竟是第幾頁」找出來，再讓兩個人用同一個頁數各自代入自己的公式。
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23. 等差級數已知首末項求項數109學年鷺江國中第1次段考數學 第16題
    最常掉的坑是求和公式漏掉除以 $2$，列成 $n(5+101)=1749$，算出 $n\approx16.5$，項數當然不可能是小數。另一個是驗算公差時用 $\dfrac{101-5}{33}$：首項到末項之間只有 $33-1=32$ 個公差，分母要用 $32$ 才會得到整數 $3$。項數與公差個數永遠差一，這是等差數列最常出錯的地方。
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24. 雙重等差數列求兩數和109學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    這題其實只靠第一個條件就能作答，關鍵是中項一定是「中間那一個」。若把三數裡的最後一個誤當成中項，對第二組寫成 $x+y=2\times37=74$，就會填成 $74$。另一個常見狀況是非要把 $x$、$y$ 都解出來不可，既花時間又多一次出錯機會；看到問的是 $x+y$，先想想中項性質能不能一步到位。
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25. 桌椅排列規律等差數列應用109學年鷺江國中第1次段考數學 第18題
    用 $a_n=a_1+(n-1)d$ 時把 $(n-1)$ 誤寫成 $n$ 是最常見的錯：$6+4n=78$ 會解出 $n=18$，整整少算一張圖。另一個錯是忽略兩端那 $2$ 張椅子，以為每張桌子固定配 $4$ 張，列成 $4n=78$，解出來是小數，而張數不可能是小數，一看就知道漏了東西。
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26. 負首項等差級數求首個正項109學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
    解出 $n>13\dfrac{1}{6}$ 之後，很多人直接把 $13$ 填上去，可是 $13$ 並不大於 $13\dfrac{1}{6}$。代回去看最清楚：第 $13$ 項是 $-1$，只差一點點，但仍然是負數。另一個錯是通項寫成 $-73+6n$，漏掉了 $n-1$ 的減一，這樣解出來也會少一項。碰到「從第幾項開始」的題目，算完務必把前後兩項都代回檢查。
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27. 電影票房等比數列天數求解109學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
    算到 $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^5$ 之後，很多人直接把指數 $5$ 當成天數填上去，但那個 $5$ 是 $n-1$。代回去檢查就露餡了：第 $5$ 天是 $32\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=162$ 萬人次，還不到 $243$ 萬。另一個錯是把「變成 $1.5$ 倍」看成「多 $1.5$ 萬」，當等差數列來算，天數會大得離譜。
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28. 三數成等比數列求未知數109學年鷺江國中第1次段考數學 第22題
    剛學完等差數列很容易把中項性質記混，寫成 $2(x+2)=(x+16)+(x-8)$，化簡之後變成 $4=8$ 的矛盾式，根本解不出來。等差中項是「兩倍等於和」，等比中項是「平方等於積」。另一個常見失誤是展開 $(x+16)(x-8)$ 時把常數項算成 $+128$，那會解出 $x=-31$，代回去三數是 $-15,-29,-39$，比值並不相等。
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29. 演唱會座位排數等差級數應用109學年鷺江國中第1次段考數學 第24題
    求末排時把公差乘錯次數是最常見的失誤：第 $1$ 排到第 $18$ 排只跨 $17$ 個公差，若寫成 $19+18\times2=55$，總和會變成 $\dfrac{18\times(19+55)}{2}=666$。另一個坑是求和忘了除以 $2$，算成 $18\times72=1296$，剛好是正解的兩倍。算完用首尾配對法再驗一次最保險。
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30. 相等比判斷109學年鷺江國中第2次段考數學 第11題
    (D) 最容易被誤判：看到 $\dfrac{5}{4}$ 裡有 $5$ 和 $4$，就覺得它和 $5:4$ 是同一回事而挑了 (D)。其實 $1:\dfrac{5}{4}$ 的前後項同乘 $4$ 之後是 $4:5$，和基準完全一樣。比當中出現分數時，先把兩項同乘一個數化成整數比再判斷，不要憑分數裡的數字長相決定；真正顛倒過來的 $5:4$ 才是不相等的那一個。
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31. 等差數列判斷110學年鷺江國中第1次段考數學 第1題
    最常見的錯是只看前面幾項就下結論：(A) 的前四項 $1,4,7,10$ 差都是 $3$，很容易直接選它，卻漏看最後一項 $14$ 和 $10$ 差 $4$。另一個錯是以為公差不能是 $0$，其實每項都相同的數列也是等差數列。判斷時每一組相鄰兩項都要算。
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32. 區間內3的倍數個數110學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    最常錯在數項數時忘了加一：直接算 $66-7=59$ 就選 (B)。從 $7$ 數到 $66$，頭尾兩個都要算進去，所以是 $66-7+1$。也要注意負數的大小：$-18$ 比 $-20$ 大，不在範圍內，第一個倍數是 $-21$；從 $-18$ 開始數會得到 $66-6+1=61$ 而誤選 (D)。
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33. 六邊形鏈子花紋規律應用110學年鷺江國中第1次段考數學 第3題
    常見錯誤是把「每個黑色與 $6$ 個白色相鄰」直接拿來除，算 $2022\div6=337$，但相鄰兩個黑色會共用中間的白色，不能這樣算，而且 $337$ 也不在選項裡。另一個錯是忘了兩端多出的白色，列成 $4n=2022$，結果除不盡。要先用圖驗算公式再代數。
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34. 等差數列成員判斷110學年鷺江國中第1次段考數學 第4題
    最容易犯的錯是只試「當第二項」和「當第四項」兩種情形：$39-7=32$ 當第二項公差太大、當第四項 $32\div3$ 除不盡，就以為 $39$ 不可能，漏掉了它可以當第三項、公差 $16$ 的數列 $7,23,39,55$。每個數都要把第二、三、四項三種位置全部試過。
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35. 等差級數求和110學年鷺江國中第1次段考數學 第5題
    最常見的錯是項數少算一：直接用 $(103-4)\div3=33$ 當項數，忘了還要加一，因為 $33$ 只是「有幾個間隔」。用 $33$ 項去算會得到 $107\times33\div2=1765.5$，連整數都不是，這時就該回頭檢查項數。也可以用小例子檢查：$4,7,10$ 有 $2$ 個間隔、$3$ 項。
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36. 棋子排列三角形規律應用110學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
    最常見的錯是以為第 $25$ 個圖形就有 $25$ 列，算成 $1+2+\cdots+25=325$，但圖1其實已經有 $3$ 列，列數比圖形編號多 $2$。$325$ 不在選項裡，看到算不出選項時，要回頭用圖1、圖2驗證自己的規律，確認代 $n=1$ 時真的是 $3$ 列。
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37. 紙張對摺厚度等比數列應用110學年鷺江國中第1次段考數學 第7題
    最常見的錯是把數列的「項數」當成「對摺次數」：$0.1,0.2,\cdots,12.8$ 共有 $8$ 項，就誤選 (D)。但第一項 $0.1$ 是還沒摺的原本厚度，對摺次數要數的是「乘了幾次 $2$」，也就是 $8-1=7$ 次。一路寫出來數箭頭最不會錯。
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38. 等比數列變形後公比判斷110學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
    最容易誤選 (B) 或 (C)：以為每項都變號，公比也跟著變號；每項都乘 $2$，公比也跟著乘 $2$。其實公比是兩項相除，分子分母同時變號或同乘 $2$ 會互相抵消，公比仍是 $r$。判斷時要實際把後項除以前項算一次。
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39. 等比數列子項組合判斷110學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最常見的錯是以為「跳著取」的項就不是等比數列，其實每次跳的間隔相同，比值就固定，只是公比變成 $3^2$、$3^3$。算 (D) 時也容易亂乘指數：每個因數都往後移 $3$ 項，各多乘 $3^3$，三個因數合起來是 $3^9$，要一個一個對應相除。
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40. 等差數列求指定項110學年鷺江國中第1次段考數學 第11題
    最常見的錯是以為第 $12$ 項要加 $12$ 個公差，算成 $24+12\times(-4)=-24$。從第 $1$ 項到第 $12$ 項中間只有 $11$ 個間隔，所以只加 $11$ 次公差。可以用小例子驗證：第 $2$ 項只加了 $1$ 次公差，第 $3$ 項加了 $2$ 次，第 $n$ 項就是加 $n-1$ 次。
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41. 等差數列項數求解110學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
    最常見的錯是算出 $(93-2)\div7=13$ 就當作答案，但 $13$ 是「間隔數」，項數要再加 $1$。就像種樹，一排 $14$ 棵樹之間只有 $13$ 個間隔。可以用前幾項檢查：$2$ 到 $16$ 有 $2$ 個間隔、$3$ 項，確認「間隔加一」才是項數。
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42. 等差中項插入求值110學年鷺江國中第1次段考數學 第13題
    常見錯誤是硬把 $a,c,e$ 一一算出來，公差 $\dfrac{25}{6}$ 是分數，很容易算錯。看出 $a$ 與 $e$ 對稱在 $c$ 兩側，就知道 $a+e=2c$，答案直接是 $0$。另一個錯是求公差時分母寫成 $7$，把 $7$ 項誤當成 $7$ 個間隔，其實只有 $6$ 個間隔。
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43. 連續複習題數等差級數應用110學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    最常見的錯是把第 $10$ 天算成 $6+10\times2=26$ 題，多加了一次公差，總和就變成 $\dfrac{(6+26)\times10}{2}=160$。第一天是 $6$ 題，到第 $10$ 天只多了 $9$ 次，所以是 $24$ 題。求末項時記得公差只加「天數減一」次，可以先拿第 $2$ 天是 $8$ 題來驗算。
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44. 等差級數最大和求項數110學年鷺江國中第1次段考數學 第15題
    最常見的錯是只答一個：看到 $a_{10}=6$ 是最後一個正數就只寫 $10$，或看到 $a_{11}=0$ 就只寫 $11$。第 $11$ 項是 $0$，加不加總和都是 $330$，兩個答案都要寫。遇到某一項剛好是 $0$ 時要特別留意，把它前後的項都寫出來檢查。
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45. 等比數列填空110學年鷺江國中第1次段考數學 第16題
    常見錯誤是忘了負負得正，把 $-2\sqrt5\times(-2)$ 算成 $-4\sqrt5$。另一個錯是把它當成等差數列，用差 $-2\sqrt5-\sqrt5=-3\sqrt5$ 去加，得到 $-5\sqrt5$。題目要的是等比數列，要用「乘公比」往下推，算完再檢查新的比值是否也是 $-2$。
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46. 等比中項求值110學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    最常見的錯是只答 $9$，漏掉 $-9$。$x^2=81$ 有兩個解，而 $3,-9,27$ 的公比是 $-3$，一樣是等比數列。另一個錯是和等差中項搞混，算成 $\dfrac{3+27}{2}=15$；等比中項要滿足 $x^2=3\times27$，不是兩數相加再除以二。兩個平方根都要驗算。
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47. 等比中項求三數乘積110學年鷺江國中第1次段考數學 第18題
    最常見的錯是只顧著算 $(-5)^2=25$，最後乘 $-5$ 時漏掉負號，寫成 $125$。其實乘積就是 $(-5)^3$，負數的三次方仍是負的。另一個錯是以為要先求出頭尾兩數，其實只要用「頭乘尾等於中項平方」，不必知道公比。
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48. 等比數列已知兩項求首項與公比110學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
    最常見的錯是由 $r^2=4$ 只寫 $r=2$，漏掉 $r=-2$。代回去看數列 $1,-2,4,-8,16$，第 $3$ 項和第 $5$ 項照樣是 $4$ 和 $16$，所以兩個都要寫。另一個錯是把第 $3$ 項寫成 $a_1\times r^3$，指數要比項數少一，第 $3$ 項只乘了兩次公比。
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49. 等差數列大小關係110會考數學 第13題
    這題的關鍵是看出第二十一項等於零。常見錯誤有兩個：一是沒注意第一項是正數這個條件，沒判斷公差是負的，就可能誤選A選項；二是忘了任何數乘零都等於零，以為乘積會有正負而誤選C選項或D選項。碰到「相鄰兩項的和」時，先想它等於中間那一項的兩倍，會省很多力氣。
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50. 長方體等比例縮放應用111學年鷺江國中第1次段考數學 第4題
    「依原比例擴建」和「每邊都加長 $0.6$ 公尺」是完全不同的兩件事：前者每邊乘同一個倍率，形狀不變；後者每邊加同一個長度，形狀會走樣。這題長多了 $0.6$，很多人就把 $0.6$ 也加到寬和高上，得到 $2.5+0.6=3.1$ 與 $1.5+0.6=2.1$。只要看到「依原比例」「放大縮小」「相似」這些字眼，一律先算出倍率，再逐邊相乘。
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51. 連比等式敘述判斷111學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
    全班最容易中招的地方，是直接令 $a=3$、$b=4$、$c=7$ 就開始檢查。這樣做的話 (B)、(C)、(D) 全都會通過：$3+8+7=18$、$3:6=1:2$、$16:9$，一個不差。可是 $a:b:c=3:4:7$ 只保證三者成比例，$k$ 可以是 $2$、$0.5$、$100$。遇到「連比加上判斷敘述」的題型，一律設成 $3k$、$4k$、$7k$ 再算，或至少多代一組 $k$ 檢查一次。
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52. 等差數列項判斷111學年鷺江國中第1次段考數學 第1題
    最容易出錯的地方，是看到公差是 $3$ 就把「能不能被 $3$ 整除」當成判斷標準，反而把 (C) $27$ 當成數列的項，接著在其他選項裡亂猜。公差 $3$ 只保證「任兩項相差 $3$ 的倍數」，要判斷某個數在不在數列裡，得看它和首項 $-5$ 的差是不是 $3$ 的倍數：$27-(-5)=32$ 不是 $3$ 的倍數，所以出局。
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53. 等比數列項判斷111學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    這題的陷阱在 $169$ 的位置與長相。數列是 $1,3,9,27,81,243$，$169$ 剛好卡在 $81$ 與 $243$ 中間的空檔，又是個漂亮的平方數（$13^2$），看起來很像「某種次方數」而被當成數列的項，反而在 (A) $27$ 和 (D) $243$ 之間猶豫。（數列裡確實有 $1=1^2$、$9=3^2$、$81=9^2$ 三個平方數，但第二項 $3$ 就不是，所以「這是平方數列」從第二項起就站不住。）等比數列的判準只有一條：每一項都由前一項乘公比而來，也就是必須是 $3$ 的次方，跟是不是平方數無關。
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54. 等差數列填空111學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
    最常見的錯是公差相減的順序顛倒，寫成「前項減後項」：$(2a-5)-(a-6)=a+1$。拿這個假公差去推第四項會得到 $-7+(a+1)=a-6$，居然和第二項一模一樣，一看就知道不對。公差永遠是後項減前項。另外含未知數的式子相減時，減號後面整串要加括號再拆，$-(2a-5)$ 是 $-2a+5$，不是 $-2a-5$。
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55. 等差級數求和111學年鷺江國中第1次段考數學 第7題
    這題的錯幾乎都出在「項數」。有人用 $17-3=14$ 就當成 $14$ 項，算成 $\frac{14\times20}{2}=140$，整整少算一項。連續整數從 $a$ 加到 $b$ 的項數是 $b-a+1$，尾巴那個 $+1$ 不能省。不放心可以拿小例子檢查：$3+4+5$ 明明是 $3$ 項，$5-3=2$ 是錯的，$5-3+1=3$ 才對。
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56. 等比數列前四項111學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
    最常見的錯是把負號一路掛著，寫成 $3$、$-6$、$-12$、$-24$。第三項是 $(-6)\times(-2)$，負負得正是 $+12$，不是 $-12$。另一種錯是只乘 $2$ 忘了負號，寫成 $3$、$6$、$12$、$24$。公比為負時，把「絕對值翻倍」和「符號正負交錯」兩件事分開處理最不容易出錯，而且這題全對才給分，四個數少一個負號就整題沒分。
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57. 等比數列求公比111學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    兩個常見混淆。一是把公比和公差搞混，用「後項減前項」算成 $6-3=3$，但這個數列 $12-6=6$ 並不等於 $3$，根本不是等差數列。二是相除的順序顛倒，寫成 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。公比一律是後面的除以前面的，算完再拿其他相鄰兩項驗一次，三組比值都相同才安心。
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58. 等比中項求值111學年鷺江國中第1次段考數學 第10題
    兩個坑。第一是只寫 $3\sqrt{10}$、漏掉負的那個；其實 $x=-3\sqrt{10}$ 時公比是 $-\frac{\sqrt{10}}{2}$，第三項 $(-3\sqrt{10})\times\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)=15$ 一樣成立，正負兩解都算數。第二是把等比中項當成等差中項，算成 $x=\frac{6+15}{2}=10.5$；相加除以二是等差的做法，等比要用相乘再開平方。
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59. 三角形堆疊圖案規律求灰色三角形數111學年鷺江國中第1次段考數學 第11題
    最大的陷阱是把「小三角形總數」當成「灰色三角形數」。第 $n$ 個圖形的小三角形一共 $n^2$ 個（圖(三) 正好 $9$ 個），忘了倒著的白色三角形不算，圖(十五) 就會算成 $15^2=225$。另一個陷阱是看到 $1,3,6$ 就當成等差數列，但相鄰的差是 $2$ 和 $3$ 並不固定，它是「每次多加一列」的累加，要用 $1+2+\cdots+n$ 才對。
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60. 等差數列插入項數求項數111學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    關鍵在於「插入的個數」和「總項數」不是同一件事。算出 $\frac{50-(-7)}{3}=19$ 之後直接寫 $19$，那其實是「從 $-7$ 走到 $50$ 走了幾步」；加 $1$ 得到 $20$ 就交卷，那是總項數。插入的個數還要再扣掉頭尾兩個原本就存在的數，$20-2=18$ 才對。建議畫個示意圖把 $-7$ 和 $50$ 標在兩端，中間的空格數才是 $n$。
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61. 等差數列項變號求項數111學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    最常見的錯是一般項少寫了 $n-1$，直接用 $26-4n<0$ 去解，得到 $n>6.5$ 就答 $7$，但第 $7$ 項其實是 $2$，還是正的。等差數列的第 $n$ 項是「首項加上 $(n-1)$ 個公差」，第 $1$ 項一個公差都還沒加。另外解出 $n>7.5$ 之後要取比它大的最小整數 $8$，不能無條件捨去成 $7$；算完一定要拿第 $7$、第 $8$ 兩項回代確認翻轉點。
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62. 等差遞減分配禮物人數應用111學年鷺江國中第1次段考數學 第18題
    這題要扣住「剛好送完」，多一人少一人都不行。只算到第 $5$ 名時總共只送出 $10+9+8+7+6=40$ 份，還剩 $5$ 份沒送；若再加上第 $7$ 名的 $4$ 份，總數變成 $45+4=49$ 份，比準備的 $45$ 份還多。所以人數卡在 $6$。另外別把「以此類推」誤讀成份數減半或除以二，題目講的是每名少 $1$ 份的等差遞減。
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63. 等差數列求第n項應用111學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
    最典型的錯是把公差乘的次數多算一次，寫成 $5+3\times30=95$。從第 $1$ 天到第 $30$ 天中間只「多做」了 $29$ 次，不是 $30$ 次。想清楚：第 $1$ 天一次都還沒多，所以第 $n$ 天要加的是 $(n-1)$ 個公差。拿第 $2$ 天當試金石最快，用 $5+3(n-1)$ 得 $8$ 是對的，用 $5+3n$ 得 $11$ 就明顯錯了。
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64. 十字形空格等差數列求總和111學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
    最容易犯的錯是把三個等差數列的和直接相加，寫成 $5a+5d+60$，這樣 $a$ 和 $d$ 各被算了兩次——它們是直行與橫排共用的交叉格。$5a+5d+60=5\times24+60=180$，比正解多出 $24$，多的正好就是重複的 $a+d$。建議先把兩個交叉格圈起來提醒自己，或直接改用「左行 $+$ 右行 $+$ 中間沒被算到的三格」來加，就不會重複。
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65. 利潤逐次減半求售價應用111學年鷺江國中第1次段考數學 第21題
    兩個坑都很常見。一是把「利潤減半」看成「售價減半」，算成 $1000\to500\to250\to125$ 而答 $125$ 元；可是光成本就要 $200$ 元，賣 $125$ 元是虧本，明顯不合理。二是把利潤算到 $100$ 元就直接作答，忘了題目問的是「售價」，還得把成本 $200$ 元加回去。遇到這種題，先把成本、售價、利潤三個量分欄列清楚，再看題目在調哪一個、問哪一個。
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66. 奇偶項和求首項111學年鷺江國中第1次段考數學 第22題
    最關鍵的一步是「抽出奇數項之後公差會變成 $2d$ 而不是 $d$」。若沿用 $d=2$ 去算奇數項的和，會得到 $\frac{10\times[a+(a+2\times9)]}{2}=10a+90=-10$，解出首項是 $-10$，整題就錯了。另一個失誤是把「兩組和相差 $20$」直接當成 $d=20$，忘了那是 $10$ 對各差一個 $d$ 累積起來的。算完務必把首項和公差代回去重算兩組和。
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67. 等比數列・對數求和111分科測驗數學甲 第1題
    $\log_{a_n}a_{n+1}$ 的意思是「以 $a_n$ 為底、$a_{n+1}$ 為真數」，不是 $\log a_{n+1}-\log a_n$；前者換底後是 $\dfrac{n+1}{n}$，後者才是 1。看到底數也是數列項時，先用換底公式把它化成同底的商，再逐項算，並且核對 $\sum$ 的上下限只到 3。
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68. 數列夾擠・極限估計111分科測驗數學甲 第8題
    「$\lim a_n=6$」只說明 $n$ 夠大以後 $a_n$ 接近 6，不能拿來斷言某一固定項的大小，所以 (1)(4) 都能找到反例。反過來 (2)(5) 之所以成立，是因為它們完全由「對所有 $n$ 都成立」的不等式推出，與極限無關。判斷時先分清楚：這個敘述是靠極限還是靠不等式？
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69. 等差數列・對數公差111學測數學A 第4題
    常見錯誤是以為對數數列的公差是 $\log d$ 而選 (1)：原數列相鄰項「相差」$d$，取對數後公差變成相鄰項「相比」的對數，比值才是關鍵。另外 $a_1,a_3,a_6$ 不是連續三項，中間分別差 $2d$ 與 $3d$，別憑直覺，要用等差中項 $a_3^2=a_1a_6$ 老實算。
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70. 透視K值・共線比例111學測數學B 第7題
    這題的陷阱在於直覺：很多人以為畫紙上也應該等距或「大致等距」，於是挑 (2) 這種看起來間隔平均的選項，但透視畫法本來就會讓等距的點在畫紙上變得不等距，唯一的判準是 $K$ 值。另一個常見錯誤是把 $K$ 值的分子分母配錯，例如算成 $\dfrac{\overline{P_1P_3}\times\overline{P_2P_4}}{\overline{P_1P_4}\times\overline{P_2P_3}}$，那會得到 $\dfrac{4}{3}$，各選項就全都對不上。代入前先把定義抄一遍，分子是「最外兩點」乘「最內兩點」。
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71. 判斷是否為等差數列112學年鷺江國中第1次段考數學 第1題
    最常見的錯是看到 $1$、$2$、$3$、$4$ 這排分母剛好成等差，就以為整個數列也是等差；等差看的是「數本身的差」，不是分母的差。第二個坑是把 (C) 排除，以為每項都一樣就不算數列——公差為 $0$ 的常數數列仍然是等差數列。第三個坑是 (B) 沒有先化簡，只盯著根號裡的 $1$、$4$、$9$、$16$（差是 $3$、$5$、$7$）就誤判成不等差。
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72. 數列通項求值112學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    這題最常見的錯是只算 $4\times20=80$，把通項裡的常數 $+5$ 漏掉。另一個錯是用一般項時公差乘錯次數：寫成 $a_1+20d=9+20\times4=89$ 會多乘一次，因為從第 $1$ 項走到第 $20$ 項只走了 $19$ 步。已經給了通項時直接代 $n=20$ 最安全，代完再用 $n=1$、$n=2$ 回頭核對通項有沒有抄錯。
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73. 特殊數列規律求值112學年鷺江國中第1次段考數學 第3題
    這題的陷阱在「第幾項」和「根號裡的數」剛好差一格。數列從 $\sqrt{0+1}$ 開始，根號裡是 $n-1$ 與 $n$，不是 $n$ 與 $n+1$，順手寫成後者就整個往後挪一項。寫出一般項之後一定要用 $n=1$ 代回去對照第一項，對得上才敢往下算。最後 $\sqrt{25}$ 要開成 $5$，停在根號形式會在選項裡找不到而慌掉。
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74. 數線上等差數列求值112學年鷺江國中第1次段考數學 第4題
    這題有兩個地方容易翻車。第一是「項數」與「段數」：$a$、$b$、$20$、$d$ 是四個數，但從 $a$ 到 $d$ 中間只有 $3$ 個公差，所以是 $3r=12$ 而不是 $4r=12$。第二是符號：絕對值只告訴你差距是 $12$，方向要回頭看數線，圖上 $A$ 在 $D$ 左邊，表示 $d>a$、公差為正。算完務必把四個數寫出來，檢查 $20$ 有沒有站在第 $3$ 個位置。
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75. 等差級數求和112學年鷺江國中第1次段考數學 第5題
    最常見的錯是項數。從 $3$ 數到 $27$，$\dfrac{27-3}{4}=6$ 只代表「加了 $6$ 次 $4$」，項數要再加 $1$ 才是 $7$；少加這個 $1$ 會算成 $\dfrac{30\times6}{2}=90$。第二個錯是配對時把落單的中間項也算成一對，多加了 $15$。項數不多的時候，最保險的做法是直接一項一項加起來驗算，兩種算法都得到同一個數才安心。
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76. 等比中項求值112學年鷺江國中第1次段考數學 第7題
    等比中項最常見的錯是只取正根。$x^2=900$ 有 $30$ 與 $-30$ 兩個解，而且 $15$、$-30$、$60$ 的公比是 $-2$，確實是合法的等比數列，所以不能把負的那個丟掉。第二個錯是把等比中項和等差中項混用，去算 $\dfrac{15+60}{2}=37.5$——相加除以 $2$ 是等差中項，等比中項要用相乘再開平方，兩個根都要寫。
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77. 等差級數項次大小關係112學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
    最常被誤選的是 (D)，因為多數人心裡預設「數列會越來越大」，可是等差數列的公差可以是正、是負、也可以是 $0$，題目沒給條件就不能斷定 $a_{100}>a_1$。另一個要牢牢記住的結論是：等差數列中只要兩項的「項次和」相同，它們相加的結果就相同——$3+98$ 和 $6+95$ 都是 $101$，所以必定相等，完全不需要知道 $a_1$ 和 $d$ 是多少。
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78. 找數排成等差或等比數列的正誤判斷112學年鷺江國中第1次段考數學 第10題
    這題容易被「要照原來順序」綁住。題目說的是從五個數中挑三個「排成」數列，排列順序可以自己安排，所以把 $-4$ 放到最前面組成 $-4$、$2$、$8$ 完全合法。另一個常見失誤是公比為負時算錯符號：$-1\times(-2)=2$ 是正的，$2\times(-2)=-4$ 才變負，正負會交替出現。遇到這種題目就逐項乘過去、逐項減過去驗算，不要用猜的。
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79. 數列與等比、等差規律填數112學年鷺江國中第1次段考數學 第11題
    三小格各有各的坑。第一格要同時看「底數的規律」和「正負交替」，只盯著 $4$、$9$、$16$、$25$ 變大就會忘記下一項是負的。第二格是等比不是等差，公比要用除的求，用減的會得到不固定的差。第三格最容易錯的是看到 $2^3$、$2^5$ 就順手填 $2^1$——指數成等差不代表數本身成等差；一定要先算成 $8$ 和 $32$，再用「相鄰兩項差相等」去解。
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80. 等差級數已知一項求前n項和112學年鷺江國中第1次段考數學 第13題
    很多人一開始會卡在「只有一個條件，怎麼求 $a_1$ 和 $d$」。事實上 $a_1$ 與 $d$ 各自是求不出來的，但它們在求和時會互相抵消——項數是奇數時，總和就等於中間項乘以項數。要用這一招，一定要先確認 $a_8$ 真的站在正中間（$15$ 項的中間是第 $8$ 項）；若誤認成第 $7$ 項或第 $9$ 項，這個性質就用不上了。
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81. 等差級數求公差112學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
    最常見的錯是把「$10$ 項」直接當成「$10$ 個公差」，寫成 $10d=27$ 而得到 $d=2.7$。$n$ 項的等差數列，首項到末項之間只有 $n-1$ 個公差。第二個容易漏掉的是方向：「首項比末項小」代表末項比較大、公差為正；若不小心寫成 $a_1-a_{10}=27$，就會得到 $d=-3$，符號整個相反。算完把首末項求出來代回總和驗一次最保險。
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82. 由前n項和公式求第10項112學年鷺江國中第1次段考數學 第15題
    最常見的錯是把 $n=10$ 直接代進 $2n^2-n$ 得到 $190$ 就當成第 $10$ 項——那是「前 $10$ 項的總和」，不是第 $10$ 項。$S_n$ 與 $a_n$ 是兩回事，要取單獨一項一定得用 $a_n=S_n-S_{n-1}$。算完可以先求出首項與公差，再用一般項推一次交叉檢查，兩條路得到同樣的數才安心。
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83. 劇場座位排數等差級數應用112學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
    這題的陷阱是「多加了幾次」和「總共幾排」差一。從第 $1$ 排到最後一排，座位數總共多了 $70-10=60$ 個，$60\div3=20$ 只代表「多加了 $20$ 次 $3$」，排數要再算上最前面的第 $1$ 排才是 $21$ 排；直接寫 $20$ 排是最常見的錯誤答案。凡是等差數列求項數，算完都要用一般項代回去驗證一次。
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84. 等差等比混合數列求乘積112學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
    這題方程式有兩個解，關鍵在題目給的「$a$、$b$ 為整數」。$a=\dfrac{1}{2}$ 時 $b=3$，$-2$、$\dfrac{1}{2}$、$3$ 的差都是 $\dfrac{5}{2}$ 確實成等差，$\dfrac{1}{2}$、$3$、$18$ 的比都是 $6$ 也確實成等比，數學上沒錯但不是整數，必須捨去；漏看這句就會多算出 $a\times b=\dfrac{3}{2}$。另外等差是「差相等」、等比是「比相等」，兩個條件別套反。
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85. 分段等差票價應用112學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
    最常見的錯是把「第 $8$ 組」算成加了 $8$ 次 $400$，寫成 $800+8\times400=4000$。第 $1$ 組本身已經是 $800$ 元了，從第 $1$ 組漲到第 $8$ 組只漲 $7$ 次。另一個錯是分組方向搞反，把 $800$ 元當成最前面那一組；題目講的是「最後 $5$ 排每張 $800$ 元」，越往前越貴，組別編號要從後面開始數。算完把八個價錢列出來核對最保險。
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86. 雙等比數列共同公比求值112學年鷺江國中第1次段考數學 第22題
    關鍵是數清楚「乘了幾次公比」。第一個數列 $3$ 項，首項到末項乘 $2$ 次；第二個數列 $4$ 項，要乘 $3$ 次。若把第二個數列也當成乘 $2$ 次，會列成 $b=3ar^2$，代進去變成 $9ar^2=ar^2$，也就是 $9=1$，根本解不出來。另一個常犯的錯是把 $3b$、$3a$ 前面的 $3$ 漏掉，只寫成 $b=ar^3$，那樣得到的公比就完全不同了。
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87. 牙籤排三角形規律應用112學年鷺江國中第1次段考數學 第23題
    第一個坑是層數：底層有 $19$ 個小三角形不代表有 $19$ 層，底層個數是 $2n-1$，$19$ 個對應的是 $10$ 層。第二個坑是用比例硬換算——$3$ 層一共有 $9$ 個小三角形、$10$ 層一共有 $100$ 個，就拿 $18\times\dfrac{100}{9}=200$ 根當答案。這是錯的，因為相鄰小三角形共用邊，牙籤數和小三角形個數並不成正比，必須用「每個方向的牙籤數成等差」再求和。
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88. 班級數學老師姓名112學年鷺江國中第1次段考數學 第13題
    這一格最常見的失分不是不知道答案，而是字寫錯。老師的名字裡常出現容易混淆的同音字或比較少見的字（像「芸」和「筠」、「琇」和「秀」、「懿」和「毅」這類），只憑印象寫很容易錯一筆一劃，而這題的規定是錯字就不給分，寫對一半也拿不到分數。另一個常見狀況是只寫姓氏或寫平常叫的綽號，那同樣不算完整全名。平時就把任課老師的全名確認清楚，考試時照著正確字形寫最保險。
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89. 黎曼和化定積分112分科測驗數學甲 第3題
    關鍵是把 $\dfrac{3}{n^2}$ 拆成「$\dfrac{3}{n}$ 當寬度」與「$\dfrac1n$ 進根號」，全提進根號或全留在外面，係數就對不上。分點與寬度要用同一組分割：寬度取 $\dfrac3n$ 時分點就是 $\dfrac{3k}{n}$，若分點仍用 $\dfrac kn$ 會把被積函數留成 $\sqrt{4+9x^2}$ 而誤選 (4)。
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90. 等差數列插入項數112會考數學 第15題
    關鍵是「插入」兩個字：新數列不只首項 $1$、末項 $5$，中間的 $2,3,4$ 也必須還在。若只用首末項，任何項數 $n$ 都能配出公差 $\dfrac{4}{n-1}$，四個選項好像都對。正確條件是每兩個相鄰整數之間被等分成相同的 $k$ 段，項數 $=4k+1$，所以「項數減 $1$ 是 $4$ 的倍數」。先想清楚哪些數一定要保留，再列條件。
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91. 數列應用・調薪比較112學測數學A 第7題
    這題最常見的錯是數錯加薪次數：「工作滿三個月，下個月開始加」表示第四個月才第一次加，所以第 m 個月的加薪次數是 m 減一除以三的商，不是 m 除以三。另一個陷阱是 D選項，很多人直覺乙一次加一千比較多，卻忽略甲加得早、每段都在累積，算總額時要一段一段列出來相加才不會憑感覺判斷。
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92. 二項分布・至少一次機率112學測數學A 第8題
    常見錯誤是把「玩 n 次至少中一次」的機率直接算成 n 乘零點一，這會忽略重複中獎的情形，也會在 n 大於十時超過一。正確做法一定是走餘事件：一減全沒中的機率。另外 E選項用「二倍」來唬人，只要代 n 等於二算一次，或想到機率不可能大於一，就能排除。
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93. 等比數列・交錯對數求和112學測數學A 第9題
    這題的陷阱有兩個。第一是交錯級數要分 n 的奇偶討論：偶數項配對後總和是負的，直接排除；奇數項要先留下首項再配對。第二是配對時方向別弄反，奇數情形是後一項減前一項，每對得正二分之三。另外別忘了先把公比三根號三寫成三的二分之三次方，取對數後才會是漂亮的等差數列。
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94. 等差數列計數112學測數學B 第14題
    最常見的錯誤是直接算 $C^{20}_{3}$ 或忘記 $a$、$c$ 要同奇偶而多算。另一個常見失誤是用公差分類時把公差算到 $d=10$（$a=1,c=21$ 超出範圍）或漏掉某個公差。記住核心：等差三數由頭尾決定，頭尾同奇偶就恰有一種，所以答案就是「奇數選二加偶數選二」。有多餘時間就用第二種方法驗算，兩者都得 $90$ 才安心。
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95. 遞迴數列・字串計數112學測數學B 第17題
    最常見的錯誤是去數「含有 $00$ 的序列有幾條」，那是另一個問題；題目算的是「出現次數總和」，像 $000$ 要算 $2$ 次。按位置對來數就自然處理了重複計算。另一個易錯點是其餘格子的填法：長度 $5$ 固定兩格為 $0$ 後剩 $3$ 格，是 $3^3=27$ 而不是 $3^2$ 或 $2^3$。用 $a(3)=6$ 檢驗公式，再用遞迴法驗算一次最穩。
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96. 數線與坐標・等距跳躍113學年新莊國中第2次段考數學 第8題
    三個誘答都是「算到一半就停」的結果：$\dfrac{71}{15}$ 是 $A$ 到 $C$ 的距離，不是坐標；$\dfrac{76}{15}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{71}{15}$ 是從 $C$ 再往右跳一次的位置；$-\dfrac{137}{15}=-\dfrac{22}{5}-\dfrac{71}{15}$ 則是方向弄反、從 $A$ 往左跳一次。記住「距離」和「坐標」是兩回事，算出距離後一定要回到數線上，用起點坐標加減才是答案。
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97. 應用問題(買法種數列舉)113學年鷺江國中第2學期第1次段考數學 第5題
    關鍵限制是「每一種至少買一張」。若把 $y=15$、$x=0$ 也算進去，就會數成 $5$ 種而選 (C)；若連 $y=0$、$x=20$ 也一併算入，就會數成 $6$ 種而選 (D)。另外直接拿小數 $0.6$、$0.8$ 去湊很容易漏解，先兩邊乘 $10$ 再約分成 $3x+4y=60$，用倍數條件鎖定 $y$ 是 $3$ 的倍數，才不會漏掉或重複。
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98. 判斷不是等差數列的選項113學年鷺江國中第1次段考數學 第1題
    最常見的誤判是 (C)：看到每項都乘 $2$，就覺得「數列被改動過就不再是等差」。其實等差只要求差固定，整組同乘一個不是 $0$ 的數，差會跟著乘同一倍，仍然固定；整組同加或同減一個數，差則完全不變。真正會破壞等差的是取倒數、平方這類動作，它們不會把差等比例地帶著走。判斷時養成習慣：直接算兩個差看相不相等，或隨手代一組簡單的等差數字驗證。
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99. 等差數列敘述何者錯誤113學年鷺江國中第1次段考數學 第2題
    多數人被 (C) 騙住，覺得 $\frac{2+c}{2}$ 這個式子很奇怪就當它是錯的。其實 $2$、$b$、$c$ 是相鄰三項，中間那項本來就等於前後兩項的平均，(C) 沒有問題。等差中項只有一個條件：它必須正好夾在正中間。$a$ 是第 $2$ 項、$c$ 是第 $5$ 項，中間隔了兩項，算出來的 $\frac{a+c}{2}=4$ 也和 $b=6$ 對不上。判斷前先把每一項的數值與位置寫清楚，再逐句核對。
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100. 等比數列求三項和113學年鷺江國中第1次段考數學 第3題
     最容易失分的是公比的負號。第一項 $-1$、第二項 $3$，公比是 $-3$ 不是 $3$；如果只看數字大小，把數列當成 $1$、$3$、$9$、$27$、$81$、$243$ 來推，就會算成 $9+27+243=279$ 而誤選 (A)。另一個好用的檢查點是「$-81$ 是第 $5$ 項」：用 $-1\times(-3)^4=-81$ 核對一次，對得上才往後推 $c$，也不要把 $-81$ 誤當成最後一項而漏掉 $c$。
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101. 新數列公差113學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
     最常見的錯是把「每一項都加一個數」當成「整組加同一個數」，直覺認為公差不變而選 $3$。關鍵在於加上去的 $1$、$2$、$3$ 並不相同，它們自己也是一個公差為 $1$ 的等差數列；兩個等差數列逐項相加時，新公差等於兩個公差相加，所以是 $3+1=4$。保險做法是把新的三項寫成含 $a$ 的式子直接相減，或隨手代一組像 $1$、$4$、$7$ 的數字驗算。
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102. 等差級數求和公式錯誤判斷113學年鷺江國中第1次段考數學 第7題
     很多人卡在 (C)，覺得 $S_9=a_5\times 9$ 看起來像亂寫的。項數是奇數時，中間項就是全體的平均，首尾兩兩配對後每一對都等於 $2a_5$，總和自然是 $9a_5$，這是很好用的速算法。真正的錯誤藏在「第 $9$ 項要加幾個 $d$」——是 $8$ 個不是 $9$ 個。遇到這種比較式子的題目，最快的辦法是拿 $a_1=1$、$d=1$ 代進去，真實總和是 $45$，哪個式子算不出 $45$ 就是它錯。
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103. 營火場地座位總數（等差級數應用）113學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
     最容易錯在「第 $12$ 排要加幾個 $4$」。第 $12$ 排是從第 $1$ 排往後跨 $11$ 次，不是 $12$ 次；如果誤用 $52-12\times 4=4$ 當首項，末項會變成 $4+56=60$，總和算成 $\frac{(4+60)\times 15}{2}=480$，這個數字不在選項裡——算出沒有的答案時就該回頭檢查項次。驗算的好方法是改用中間項：第 $8$ 排是 $36$ 個座位，$36\times 15=540$，兩種算法對得起來才安心。
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104. 隔宿露營練習時間總和（等差級數應用）113學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
     兩個地方最容易出錯。第一是項次：第 $14$ 天只加 $13$ 個 $5$，若寫成 $10+14\times 5=80$，總和會變成 $\frac{(10+80)\times 14}{2}=630$ 分鐘，這個值不在選項裡。第二是單位換算：$595$ 分鐘一定要老實除以 $60$ 取商和餘數，得 $9$ 小時 $55$ 分；看到快接近 $600$ 就想成「差不多 $10$ 小時」而選 (D)，等於把題目要的精確答案丟掉了。
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105. 水溫加熱時間（等差數列應用）113學年鷺江國中第1次段考數學 第10題
     最常見的錯是把「項數」和「升溫次數」搞混。算出 $63\div 7=9$ 之後，有人會習慣性地再套一次「第 $n$ 項要減 $1$」，把次數改成 $8$ 次而算成 $8\times 2=16$ 分鐘。這裡的 $9$ 本來就是升溫的次數，不必再減 $1$。若真要用數列的語言：$22$ 度是第 $1$ 項、$85$ 度是第 $10$ 項，時間是 $(10-1)\times 2=18$ 分鐘——先想清楚 $9$ 代表的是「間隔數」還是「項數」，就不會多減一次。
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106. 等比數列三數成等比求值113學年鷺江國中第1次段考數學 第11題
     $(b-6)\times 2b$ 要用分配律把兩項都乘到，得 $2b^2-12b$；若把 $2b\times(-6)$ 漏掉係數 $2$、寫成 $-6b$，方程式會變成 $b^2-3b-72=0$，這個式子分解不開，算到卡住就該回頭檢查分配律。第二個常錯的步驟是解完就交卷：$b=12$ 與 $b=-6$ 都滿足等比，但題目多給了「三數和 $<0$」，$b=12$ 那組的和是 $42$，必須捨去。
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107. 插入等比中項求公比113學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
     最常見的失誤是項數數錯：插入 $3$ 個數之後全部有 $5$ 項，從第 $1$ 項到第 $5$ 項要乘 $4$ 次公比。若誤以為只乘 $3$ 次，會列成 $r^3=81$，開不出整數，算到卡住就要回頭數項數。第二個失誤是只寫 $3$ 就收手：$r^4=81$ 是偶次方，$-3$ 的四次方同樣是 $81$，代回去負號會兩兩抵消、數列仍然成立，答案必須寫成 $\pm 3$ 才算完整。
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108. 等比數列求公比與第六項113學年鷺江國中第1次段考數學 第13題
     錯最多的是負號配上次方數。第 $6$ 項乘的是 $5$ 次公比，$5$ 是奇數，負號留得下來，$\left(-\frac{1}{4}\right)^5=-\frac{1}{1024}$，再乘上負的首項才會得到正的 $\frac{3}{4}$；若把公比的負號丟掉當成 $\left(\frac{1}{4}\right)^5$，答案會變成 $-\frac{3}{4}$，正負剛好相反。第二個常錯是項次，第 $6$ 項乘 $5$ 次不是 $6$ 次，乘 $6$ 次會得到 $-\frac{3}{16}$。不確定時，從第 $4$ 項一項一項往後推兩步最不會出錯。
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109. 兩等差數列共同項組成新數列113學年鷺江國中第1次段考數學 第16題
     最常錯的一步是 C 的公差：不少人把兩個公差相加寫成 $3+4=7$，排出 $11$、$18$、$25$、$32$、$39$，第 $5$ 項就變成 $39$。但 $18$ 根本不在 A 數列裡（A 的每一項都是 $3$ 的倍數減 $1$）。共同項要同時滿足兩個數列的規律，間隔必須取兩個公差的最小公倍數 $12$，不是相加。另外別忘了第 $5$ 項是加 $4$ 次公差，不是 $5$ 次。
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110. 等差數列分組求第十組總和113學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
     最容易算錯的一步是「第 $10$ 組從整串的第幾個數開始」。前 $9$ 組總共用掉 $45$ 個數，第 $10$ 組的第一個數是第 $46$ 個，不是第 $45$ 個；若從第 $45$ 個（也就是 $133$）算到第 $54$ 個（$160$），總和會變成 $\frac{(133+160)\times 10}{2}=1465$，整整少了 $30$。建議先用 $\frac{n(n+1)}{2}$ 把「前 $n$ 組共幾個數」算清楚，再用 $3k-2$ 求頭尾，最後才套求和公式。
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111. 複利計息求本利和（等比數列應用）113學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
     最常見的錯是用單利計算：$20000\times 10\%\times 3=6000$，答成 $26000$ 元，這等於無視題目寫的「利息會併入本金繼續累積」。第二個常錯的步驟是次方數，$3$ 年期滿要乘 $3$ 次 $1.1$，不是 $2$ 次（乘 $2$ 次只到第 $2$ 年底的 $24200$）。第三個是把 $1.1^3$ 隨手估成 $1.3$，那樣會算出 $26000$；$1.1^3=1.331$ 要老實乘三次，或像上面那樣逐年遞推 $22000\to 24200\to 26620$ 最不容易出錯。
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112. 植樹活動等比數列應用113學年鷺江國中第1次段考數學 第22題
     最常錯的一步是次方數：第 $6$ 年是從第 $1$ 年往後乘 $5$ 次 $\frac{3}{2}$，不是 $6$ 次；若乘 $6$ 次會算成 $320\times\frac{729}{64}=3645$，等於多算了一年。第二個常錯的是把「每年是前一年的 $\frac{3}{2}$ 倍」看成「每年多種固定棵數」而當成等差數列來做。第三，這題要有計算過程才給分，設首項與公比、列出 $320\times\left(\frac{3}{2}\right)^5$、化簡計算、寫出答句，四段都要寫，只填一個 $2430$ 是拿不到分的。
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113. 複數・棣棓113分科測驗數學甲 第8題
     選項(1)是全班錯最多的一步：拿 $10\beta$ 減 $3\beta$ 得 $7\beta=3\pi$，看到「$\pi$ 的整數倍」就判定同界角而圈 (1)。同界角的門檻是 $2\pi$ 的整數倍；差奇數倍的 $\pi$ 時餘弦變號。化簡大角度時一律減 $2\pi$ 的整數倍，例如 $\dfrac{30\pi}{7}$ 要減 $4\pi$ 化成 $\dfrac{2\pi}{7}$。
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114. log 成等差・反推末項113分科測驗數學甲 第11題
     最常見的失誤有兩個：一是只找到一組解就急著作答，沒把 $b$ 的五種可能都檢查，或漏掉 $t>0$ 的限制；二是忘了題目多給的條件 $a_1\neq0$，它正是用來排除 $t=4$ 這組解的，漏看就會多出一個答案。看到「其中一數」就要有系統地設 $b=t+2k$ 全部代入，再用題目的每一個條件逐一篩選。
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115. 等差分層113會考數學 第5題
     算第十層時把「首項加公差乘次數」的次數寫成 10，得到 $9+60=69$，總和就變成 390 而誤選 (D)。記住：第 1 層到第 10 層之間只有 9 個間隔，末項是 $9+6\times 9=63$。
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116. 三次函數・韋達113學測數學A 第3題
     寫 $f(0)$ 時漏掉最高次項係數 $a$，只算 $7(7-a)(7-2a)$ 的正負——負的 $a$ 佔了六個候選值的一半，一漏掉答案就從 1 個變 4 個。另外 $0-(-7+a)=7-a$ 這步的符號也常被抄反，建議先寫「$0$ 減每個根」再化簡。
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117. 三角・性質113學測數學A 第8題
     選項 (4) 最多人把「邊長 5、6、7 成等差」直接推成「三高也成等差」。高與邊長成反比，要用 $\dfrac{1}{5}$、$\dfrac{1}{6}$、$\dfrac{1}{7}$ 檢驗，通分到 105 後是 $\dfrac{35}{105}$ 對上 $\dfrac{36}{105}$，只差一格，用約略小數目測極易誤判成相等，務必通分驗證。
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118. 等比數列・變換判別113學測數學B 第8題
     最常見的錯誤是把等比與等差的變換規則搞混：等比數列逐項取對數會變成等差，等差數列放到指數上才會變成等比；(3)、(4) 正好反過來用，都不成立。另一個陷阱是 (1)，看到正負交錯就以為不是等比，其實公比可以是負數。最保險的做法是代入 $1,2,4,8,16$ 實際算相鄰比值。
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119. 碳排放・年成長率113學測數學B 第11題
     最常見的錯誤是 (3)：看到「每年平均減碳 5%」就以為四個年成長率的算術平均是 $-0.05$。成長率是「乘」上去的，四年總量變成 $(1+r_2)(1+r_3)(1+r_4)(1+r_5)$ 倍，平均指的是幾何平均 $0.95$，各年不全相同時算術平均一定不等於它。(2) 則要老實乘出 $0.95^4\approx0.8145$，別用減四次 5% 去估。
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120. 圓周等分・等差角三角形113學測數學B 第17題
     最常見的錯誤是用邊長去想，其實三角形內角是圓周角，只跟所對的弧有關；換成弧段數後題目變成「三段弧成等差」，中間項一定是 4。第二個陷阱是重複計算：正三角形三條邊都是差 4 的弦，用弦來數會算 3 次，要扣 $4\times2=8$。也別漏掉 $\{4,4,4\}$，等差允許公差為 0。
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121. 交錯冪次求和114學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
     這題有兩個關卡。第一關是符號：式子本身就是「加、減交錯」，而 $(-1)$ 的奇次方又是負的，兩個負號碰在一起變正，所以每一項都是 $+1$，千萬別被「交錯」兩個字騙去寫 $0$。第二關是項數：指數從 $0$ 開始，項數要用「尾－頭＋$1$」算成 $2018$ 項，漏掉 $(-1)^0$ 就會少一項。先算前四項驗證規律，再數項數，最穩。
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122. 數列與函數敘述正確與否判斷114學年鷺江國中第1次段考數學 第1題
     這題四個選項各踩一個定義。最多人栽在 (D)：一看到 $4\times9=36$ 就直接寫 $6$，忘了平方等於 $36$ 的數有正有負，$-6$ 也能讓三數成等比。其次是 (A)，把「數列」誤會成一定要有規律。請記住兩件事：數列只要求「依序排成一列」；求等比中項時開平方一定要同時寫出正、負兩個答案，除非題目另外限制了正負。
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123. 等差數列平移後的公差判斷114學年鷺江國中第1次段考數學 第4題
     關鍵在於「整串加同一個數」和「加上去的數本身也在變」是兩回事。如果三項都加 $5$，公差確實還是 $4$；但這題加的是 $5,10,15$，每次多加 $5$，等於在原本每一步的 $+4$ 上再疊一個 $+5$，公差就變成 $9$。遇到這種題不要憑印象判斷，直接把 $b=a+4$、$c=a+8$ 代進去，寫出新的三項再相減，兩秒就看得出來。
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124. 等比數列變形後敘述正確判斷114學年鷺江國中第1次段考數學 第6題
     這題考「公比對各種變形的反應」。最多人誤選 (B) 或 (C)，直覺認為整串乘上 $-1$ 或 $3$，公比也要跟著乘。其實公比是相鄰兩項相除出來的，同乘的因數在分子分母會被約掉，公比完全不動；真正會改變公比的是取倒數與整串反向排列，兩者都會把公比變成 $\dfrac{1}{r}$。判斷時直接寫出「後項除以前項」算一次最保險。
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125. 等差等比數列正負性說法判斷114學年鷺江國中第1次段考數學 第7題
     很多人兩個都打勾或兩個都打叉。關鍵是「前兩項都是正數」對兩種數列的約束力不同：等差只推得出 $d=b-a$，這個數可正可負，第三項自然可能變負；等比卻推得出 $r=\dfrac{b}{a}>0$，正數乘正數永遠是正數。遇到題目寫「必為」「一定」這種字眼，先花十秒找一個反例，找得到就推翻，找不到再回頭想理由。
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126. 等比數列項相乘後是否仍為等比數列114學年鷺江國中第1次段考數學 第8題
     硬把每一項展開成 $a_1$ 與 $r$ 的式子也做得完，但指數很容易算錯。比較穩的做法是記住「$a_m\times a_n$ 只跟下標和 $m+n$ 有關」，把三項的下標和排成 $4,\ 7,\ ?$，要成等比就要求這串和成等差，下一個是 $10$，再回推 $k=8$。最常見的失誤是把「下標和 $10$」直接讀成「下標 $10$」，結果多算了 $2$。
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127. 等比數列公比正負與大小關係114學年鷺江國中第1次段考數學 第9題
     公比的正負是這一章最愛考的點。公比為負時，數列的正負號會一項一換：第一項正、第二項負、第三項又變正，所以第三項一定大於第二項，這和 $r$ 的絕對值多大完全無關。反過來，公比為正只能保證三項同號，大小還要看 $r$ 比 $1$ 大還是小，$0<r<1$ 時數列是越乘越小的。看到「當 $r>0$」這種選項，記得同時試 $r=2$ 和 $r=\dfrac{1}{2}$，一次就能判掉。
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128. 首末項不變插入等差數列求可能總和114學年鷺江國中第1次段考數學 第10題
     很多人只檢查「總和要是 $4$ 的倍數」就下筆，但這題 $84$、$72$、$64$、$40$ 全都是 $4$ 的倍數，這個條件一個都篩不掉。真正的限制在項數：插入後每個間隔要插一樣多，項數只能是 $5,9,13,17,21,\ldots$，也就是 $5+4k$ 的形式。算出項數 $n$ 之後，務必再確認 $n-5$ 能不能被 $4$ 整除，這一步才是這題的關卡。
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129. 等差數列求中間項114學年鷺江國中第1次段考數學 第11題
     帶根號的等差數列，把「整數部分」和「$\sqrt7$ 的係數」拆成兩串各自做等差最不容易錯：$1,4,7,10$ 每次 $+3$，$1,3,5,7$ 每次 $+2$。另一個常見失誤是誤用等差中項：空格是第三項，它等於「第二項與第四項的平均」$\dfrac{(4+3\sqrt7)+(10+7\sqrt7)}{2}=7+5\sqrt7$；若錯拿第一項和第四項去平均，會得到 $\dfrac{11+8\sqrt7}{2}$，那是第二、三項正中間的值，不是空格要的數。
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130. 等比數列求中間項114學年鷺江國中第1次段考數學 第12題
     這題失分幾乎都是只寫了 $2$。看到頭尾的 $1$ 和 $4$ 都是正數，直覺覺得中間那個也該是正的，但等比數列的公比允許是負的，$1,-2,4$ 的正負號一項一換，仍然是標準的等比數列。記住：只要是靠「$x^2=$ 某個正數」解出來的等比中項，答案必定有正負兩個；除非題目另外寫明三個數都是正數，或指定公比為正，才可以把負的那個捨掉。
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131. 等差級數求公差114學年鷺江國中第1次段考數學 第14題
     兩個地方最常失手。第一是算出 $3+a_{11}=66$ 以後忘了扣掉首項，直接把 $66$ 當成末項，那會列出 $66=3+10d$ 而得到 $d=6.3$。第二是把「項數」和「加了幾次公差」搞混：$11$ 項之間只有 $10$ 個間隔，若寫成 $a_{11}=3+11d$ 會得到 $d=\dfrac{60}{11}$ 這種怪數字。只要算出不漂亮的小數或分數，先回頭檢查這兩處。
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132. 等比數列三數求x114學年鷺江國中第1次段考數學 第16題
     最常見的錯誤是把等比中項當成等差中項用，列成 $2(7+x)=(5+x)+(10+x)$。那樣算下去會變成 $14+2x=15+2x$，兩邊的 $2x$ 消掉只剩 $14=15$，根本無解——一算出這種矛盾式，就代表中項關係用錯了。等差是「中間項的兩倍等於前後兩項相加」，等比是「中間項的平方等於前後兩項相乘」，一個用加、一個用乘，千萬不要混。
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133. 等差數列插入n個數求n114學年鷺江國中第1次段考數學 第17題
     這題的陷阱全在「項數」。$n$ 指的是插進去的數，不含頭尾的 $20$ 與 $60$，算總和時項數要記得補上 $2$。如果直接把項數當成 $n$，會列出 $40n=360$ 而得到 $n=9$，整整多算兩項。另外「間隔數」又比項數少 $1$：$9$ 項只有 $8$ 個間隔，公差是 $40\div8=5$ 而不是 $40\div9$。寫完把數列真的列出幾項對一下最安全。
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134. 吸管排正方形規律求圖形數114學年鷺江國中第1次段考數學 第18題
     這種排火柴棒的規律題，最常見的錯誤是忘了相鄰正方形會共用一根吸管，以為每個正方形都要 $4$ 根，列成 $4n=100$ 而答 $n=25$；但圖 $4$ 明明只用了 $13$ 根而不是 $16$ 根，一比對就知道不對。正確做法是先老老實實數出前三、四項 $4,7,10,13$，確認公差是 $3$，再用「首項加上 $n-1$ 個公差」寫通式。另一個小坑是把通式寫成 $3n$，漏掉最左邊那一根。
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135. 積木堆疊層數求數量114學年鷺江國中第1次段考數學 第19題
     最大的坑是把「一層」看成「一排」。圖上第 $3$ 層在前面看得到一排 $3$ 個，如果只數那一排，就會以為第 $n$ 層有 $n$ 個，直接答第 $190$ 層。但圖上第 $3$ 層前面看得到一排 $3$ 個、第 $2$ 層一排 $2$ 個，再加上「積木皆不會懸空」表示上面每個積木底下都有撐著的，每一層就是鋪滿的三角形排列，第 $3$ 層其實是 $1+2+3=6$ 個，後面還藏著看不見的。先把第 $1$、$2$、$3$ 層的個數 $1,3,6$ 確實數出來再找規律，才不會被立體圖騙過去。
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136. 馬拉松週跑量等差數列求週數114學年鷺江國中第1次段考數學 第20題
     兩個地方要注意。一是通式別寫成 $7+2n$，那等於第 $1$ 週就先多加了一次公差；若用它去解，$n=22$ 會算出 $51$，讓人誤以為第 $22$ 週就破 $50$，但實際第 $22$ 週只跑 $49$ 公里。二是解出 $n>22.5$ 之後不要習慣性四捨五入或無條件捨去成 $22$；題目問的是「超過」，小數要往上進位到 $23$。算完把第 $22$、$23$ 兩週的跑量都代出來對照最保險。
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137. 等差數列項差求隔項項差114學年鷺江國中第1次段考數學 第21題
     最常見的錯誤是把「間隔數」算成「項數」。從第 $30$ 項到第 $50$ 項總共有 $21$ 項，但中間只有 $20$ 個間隔；若誤用 $21$ 去算，公差會變成 $\dfrac{5}{21}$ 這種怪分數。同樣地，$a_{200}-a_{100}$ 若算成 $101d$，會得到 $101\times\dfrac{1}{4}=25.25$。記住口訣：兩項相減時下標直接相減、不加 $1$；只有在問「一共有幾項」時才要加 $1$。
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138. 背單字等差數列求首項114學年鷺江國中第1次段考數學 第22題
     最容易踩的是把 $450\div9=50$ 直接當成第一週的答案。那個 $50$ 是九週的平均，也就是正中間第 $5$ 週的量，還要往回退 $4$ 個公差才是第一週。另一個坑是算第 $9$ 週時寫成 $a+9\times9=a+81$，多加了一次公差；九週之間只有 $8$ 個間隔，末項應該是 $a+72$。把數列列出來頭尾配對相加，每組都是 $100$，驗算很快。
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139. 等差數列前n項和求前300項和114學年鷺江國中第1次段考數學 第25題
     看到 $130+170=300$ 就把兩個和直接相加、答 $127+47=174$，是這題最普遍的錯誤——前 $170$ 項裡本來就含著前 $130$ 項，那樣會把前面重複算一次。正確的切入點是相減，$47-127=-80$ 才是乾淨的第 $131$ 到 $170$ 項。接著善用等差數列的性質「下標和相同的兩項，相加結果也相同」，把 $a_{131}+a_{170}$ 換成 $a_1+a_{300}$，整題就通了。
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140. 數列・週期判斷114分科測驗數學甲 第5題
     (5) 的 $(-1)^{n^2}$ 是全班陣亡最多的一步：把 $\left((-1)^n\right)^n$ 想成「負負得正、恆為 $1$」，級數就變成公比 $+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，和算成 $\sqrt{3}(2+\sqrt{3})$ 之類而誤刪 (5)。正確判法是盯住指數 $n^2$ 的奇偶：$n$ 奇則 $n^2$ 奇、$n$ 偶則 $n^2$ 偶，所以 $(-1)^{n^2}=(-1)^n$，公比是負的 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；不放心就實際代 $n=1$：$(a_1)^1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，第一項就是負的。
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141. 遞迴・換元114學測數學A 第7題
     選項 (5) 的比較是全卷經典陷阱：$\dfrac{1}{8748}$ 和 $10^{-4}=\dfrac{1}{10000}$ 比，要比分母——分母小的分數大，所以 $b_{10}>10^{-4}$。很多人算到「大約萬分之一點一」時直覺它很小就勾了 (5)；把兩個分數都寫成 $\dfrac{1}{\text{分母}}$ 再比分母，一秒判定。
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142. 等差數列・項數與公差判別114學測數學B 第12題
     最常見的錯誤是先入為主假設公差必須是整數，只找到 $d=1,2,4,8$ 這幾個情形，於是誤判 (3) 正確、也數錯數列個數；題目沒說公差是整數，只要求 $9$ 是某一項。正確做法是把「$9$ 是第 $k+1$ 項」寫成 $k=\dfrac{n-1}{10}$ 為正整數，一次得到全部可能的 $n$。(5) 則要把 $n$ 的清單全部列出來檢查，$91$ 是很容易漏掉的 $7$ 的倍數。
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143. 無窮等比級數乘積求公比115分科測驗數學甲 第2題
     這題有兩個坑：一是把奇數項級數的公比寫成 $r$ 而不是 $r^2$；二是解出 $r^2-r-1=0$ 的兩根後忘了無窮等比級數收斂需要 $|r|<1$，直接選了正根 $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$。凡是「無窮等比級數收斂」，先寫下 $|r|<1$ 再解方程，最後一定用這個條件篩根。
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144. 抽球機率性質判斷115分科測驗數學甲 第4題
     選項 (4) 最容易憑「等比數列中間項是幾何平均」的印象就勾下去。正確做法是動手代一組數字，例如 $1,2,4$，$p_2=\dfrac27$ 立刻小於 $\dfrac13$；再想算幾不等式 $n_1+n_3\ge2n_2$，會發現 $p_2\le\dfrac13$ 才是對的方向。判斷「若…則…」型的選項，先找反例，找不到再證明，比直覺可靠得多。
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145. 等比成長估算115會考數學 第17題
     兩個陷阱。第一：「增加前一年的 2.5%」是以前一年為基準，基準每年都在變，所以要連乘 1.025，不是每年加固定的 2700×0.025，選項 (C)(D) 就是這種錯誤。第二是年數：2023 到 2030 相差 7 年，把 2023 也算進去變成 8 年就會多乘一次，(B) 就是這樣錯的。
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146. 指數等比115學測數學A 第3題
     公比的方向：數列是 $f(10),f(8),f(6)$，公比 $=\dfrac{f(8)}{f(10)}=a^{-2}$，指數差是 $8-10=-2$。不少人習慣性寫成 $\dfrac{f(10)}{f(8)}=a^{2}$，符號整個反過來，就會誤選 (4) $2^{6/5}$。寫公比前先確認「後項除以前項」是哪兩個。
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147. 矩陣遞推・辨選項115學測數學A 第8題
     (3) 的遞迴係數最會騙人：由 $A^2=2A+I$ 推出的是 $c_{n+2}=2c_{n+1}+c_n$，選項故意寫成 $c_{n+2}=c_{n+1}+2c_n$。憑印象背費波那契型遞迴、不動手用 $c_2=2,c_3=5,c_4=12$ 代入檢驗，就會把 (3) 誤判為正確。矩陣選項一律先算出 $A^2$ 到 $A^4$ 的具體數字再判斷。
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148. 共線等差・對數方程115學測數學A 第15題
     兩個具體的坑：其一，交叉相乘 $\dfrac{4b}{3a}=\dfrac{6c}{4b}$ 時左邊是 $4b\times4b=16b^2$，急著寫常會算成 $12b^2$；其二，解出 $t=\dfrac{3}{2}$ 與 $\dfrac{3}{4}$ 後忘了用 $a<b$ 篩根，兩個都留就答不出唯一值。乘完先核對係數，解完必檢查大小關係。
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149. 投注金額・遞迴數列115學測數學B 第5題
     最常見的錯誤是把它當成單純的等比數列，以為每次都乘 $\dfrac{3}{2}$，直接寫出 $\dfrac{3^6}{2^6}N$ 而誤選 (1)；或是雖然知道有「減半」的規則，卻沒有每一次都老實和 $2N$ 比較，隨手猜哪幾次要減半。這類遞迴題沒有捷徑，就是一次一次算：先乘 $\dfrac{3}{2}$ 得預定金額，估一下是否大於 $2N$（用小數估最快，例如 $\dfrac{81}{32}\approx2.53$），再決定要不要減半。
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150. 紅茶稀釋・遞迴數列115學測數學B 第12題
     這題最容易錯在 (5)：直覺以為「一直稀釋糖就會越來越少，一百次後一定很低」，但每次倒回來的紅茶也帶著糖，A 瓶的含糖量只會逼近 $\dfrac{200}{3}\approx66.7$ 公克，不會跌破 $60$。這也提醒我們遞迴題要算出「不動點」$c$ 再下結論，不要用感覺。另外 (2) 常被誤選，因為 $50-\dfrac{1}{2}a_n$ 看起來像某個中間步驟的量；只要用總量守恆（B 瓶 $=100-a_n$）並代 $n=1$ 驗算，就能立刻排除。
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