數列與級數

高中・國中 · 歷屆 9 題 · 跨 6 份考卷

等差、等比數列怎麼算？
這裡整理了113分科測驗、113會考、113學測、114分科測驗、114學測、115學測共 9 題數列與級數考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

等差數列×5 等比數列×2 三次多項式 三角函數 三角形不等式 分層求和 對數運算律 德莫弗定理 指數律 數列 數列收斂 數列遞迴 數學歸納 根與係數關係 極式表示 極限 海龍公式 矩陣乘法 級數 複數 規律推理 遞迴關係 選擇題判斷 韋達定理 點共線

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 複數・棣棓113分科測驗數學甲 第8題
   最容易錯在把 $y_n=\alpha^n\sin n\beta$ 的收斂，誤看成只看角度不看 $\alpha^n$；還有把「某一項等於零」誤推成「所有倍數項都等於同一值」。
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2. 等差分層113會考數學 第5題
   全班最容易錯在：只把第一層的三列當成固定不變，或是把「每層第一列都多二張」誤解成只增加一個數字，結果少算整層的成長；另外也很常忘了總共有十層，不是十個數字隨便加。
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3. 三次函數・韋達113學測數學A 第3題
   最容易漏掉「$f(0)$ 等於三個根乘積再乘最高次項係數」，只看根的正負卻忘了外面的 $a$。
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4. 三角・性質113學測數學A 第8題
   把「三高」和「三邊」混在一起，或只看單一例子就下結論
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5. 數列・週期判斷114分科測驗數學甲 第5題
   最容易錯在把 $\cos(n\pi-\frac{\pi}{6})$ 展開後漏掉 $\sin(n\pi)=0$，或把冪次 $(-1)^{n^2}$ 錯看成一定是 $1$。另外第五題常有人忘記先判斷公比大小，直接硬套公式。
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6. 遞迴・換元114學測數學A 第7題
   最容易把 $b_{n+1}$ 算成公比 $\dfrac{2}{3}$，或忘了先算 $b_1$。
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7. 指數等比115學測數學A 第3題
   最容易錯在把「等比數列的公比」看成 $a$，其實要先用 $f(c_2)/f(c_1)=a^{c_2-c_1}$ 解出 $a$；另一個常錯點是 $f(10),f(8),f(6)$ 的公比要算 $f(8)/f(10)=a^{-2}$，不是 $a^2$。
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8. 矩陣遞推・辨選項115學測數學A 第8題
   最容易錯在兩個地方：一是把 $A^{n+1}=A^nA$ 的四格遞推寫反，二是看到 $c_{n+2}$ 就亂套費波那契形式，忘了要先由矩陣乘法真正推係數。
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9. 共線等差・對數方程115學測數學A 第15題
   兩個大坑：①把 $\log 3a$ 誤讀成「以 3 為底」的 $\log_3 a$——這題的 log 全是常用對數、真數是 $3a$、$4b$、$6c$；②解出兩根後忘了用 $a<b<c$ 篩掉 $\dfrac{3}{4}$，選填就整題沒分了。
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