113分科測驗數學甲 第8題 詳解

答案(2)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   棣美弗開場

   本題考複數極式與極限的綜合。把 $z$ 寫成極式 $z=\alpha(\cos\beta+i\sin\beta)$，由棣美弗定理 $z^n=\alpha^n(\cos n\beta+i\sin n\beta)$，故 $x_n=\alpha^n\cos n\beta$、$y_n=\alpha^n\sin n\beta$。五個選項都靠這組公式：對的用恆等式證，錯的用具體反例打掉。
2. 2

   差三個平角

   選項(1)：$\alpha=1$、$\beta=\dfrac{3\pi}{7}$ 時，$x_{10}=\cos\dfrac{30\pi}{7}$，而 $\dfrac{30\pi}{7}-4\pi=\dfrac{2\pi}{7}$，故 $x_{10}=\cos\dfrac{2\pi}{7}>0$；另一方面 $x_3=\cos\dfrac{9\pi}{7}<0$（第三象限角），兩者連正負號都不同，(1) 錯誤。誘答機關在 $10\beta-3\beta=7\beta=3\pi$：看到 $\pi$ 的整數倍就以為是同界角，但同界角要求相差 $2\pi$ 的整數倍，相差奇數倍的 $\pi$ 時餘弦變號，實際上 $x_{10}=\cos(3\beta+3\pi)=-\cos 3\beta=-x_3$。
3. 3

   倍角與反例

   選項(2)：$y_3=\alpha^3\sin 3\beta=0$ 即 $\sin 3\beta=0$，由倍角公式 $\sin 6\beta=2\sin 3\beta\cos 3\beta=0$，故 $y_6=\alpha^6\sin 6\beta=0$，(2) 正確。選項(3)：$x_3=1$ 只鎖定 $z^3$ 的實部、管不到虛部。取 $z^3=1+i$（任何非零複數都有立方根），則 $x_3=1$，但 $z^6=(z^3)^2=(1+i)^2=2i$，$x_6=0\neq 1$，(3) 錯誤。
4. 4

   實軸反例

   選項(4)：取 $z=2$，即 $\alpha=2$、$\beta=0$，則 $y_n=2^n\sin 0=0$ 對所有 $n$ 成立，$\langle y_n\rangle$ 是常數數列必收斂，但 $\alpha=2>1$，(4) 錯誤。凡是落在實軸上的 $z$，虛部數列都恆為零，長度 $\alpha$ 想多大都行。
5. 5

   遞迴解虛部

   選項(5)：由 $z^{n+1}=z\cdot z^n$ 取實部得 $x_{n+1}=\alpha\cos\beta\,x_n-\alpha\sin\beta\,y_n$。若 $\sin\beta\neq 0$，移項得 $y_n=\dfrac{\alpha\cos\beta\,x_n-x_{n+1}}{\alpha\sin\beta}$；當 $\langle x_n\rangle$ 收斂於 $L$，右式收斂於 $\dfrac{(\alpha\cos\beta-1)L}{\alpha\sin\beta}$，故 $\langle y_n\rangle$ 收斂。若 $\sin\beta=0$（$\beta=0$ 或 $\pi$），則 $\sin n\beta=0$ 對所有 $n$ 成立，$y_n$ 恆為 $0$ 也收斂。兩種情形都收斂，(5) 正確。綜上，答案選 (2)(5)。

關鍵觀念：#複數 #德莫弗定理 #極式表示 #數列收斂

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