113分科測驗數學甲 第8題 詳解

複數・棣棓 · 多選 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓題意

   設 $z=\alpha(\cos\beta+i\sin\beta)$，則
   $z^n=\alpha^n(\cos n\beta+i\sin n\beta)$。
   所以 $x_n=\alpha^n\cos n\beta$、$y_n=\alpha^n\sin n\beta$。這題就是用極式把每一個選項翻成三角函數與冪次，再判斷真假。
2. 2

   判斷選項一

   (1) 若 $\alpha=1$、$\beta=\dfrac{3\pi}{7}$，則
   $x_{10}=\cos\dfrac{30\pi}{7}=\cos\left(4\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right)=\cos\dfrac{2\pi}{7}$，
   $x_3=\cos\dfrac{9\pi}{7}=\cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right)=-\cos\dfrac{2\pi}{7}$。
   因此 $x_{10}
   e x_3$，此項錯。
3. 3

   判斷選項二

   (2) 若 $y_3=0$，表示
   $y_3=\alpha^3\sin 3\beta=0$。
   因為 $\alpha
   e 0$，所以$\sin 3\beta=0$，即$3\beta=k\pi$。
   乘以二得 $6\beta=2k\pi$，故 $\sin 6\beta=0$，因此
   $y_6=\alpha^6\sin 6\beta=0$。
   此項對。
4. 4

   判斷選項三

   (3) 若 $x_3=1$，則
   $x_3=\alpha^3\cos 3\beta=1$。
   這只保證某一次的實部等於一，不能推出 $x_6=\alpha^6\cos 6\beta=1$。
   例如取 $z=1$ 時當然成立，但取 $z=e^{i\pi/3}$ 時，$x_3=\cos\pi=-1$ 不符；而要反例可取 $z=\sqrt[3]{2}$ 使 $x_3=1$ 並不會自動保證 $x_6=1$。因此此命題不成立。
5. 5

   判斷選項四

   (4) 若數列 $\langle y_n\rangle$ 收斂，則 $\alpha\le 1$。
   反設 $\alpha>1$。因為
   $y_n=\alpha^n\sin n\beta$，模長的主因子是 $\alpha^n$，會隨 $n$ 指數成長。若 $\sin n\beta$ 不恒為零，$y_n$ 不可能收斂；若對所有 $n$ 都有 $\sin n\beta=0$，則 $\beta$ 必為特殊角，使 $y_n\equiv 0$，但這時仍無法推出一般情形下必有 $\alpha\le 1$。更直接地看，若 $\alpha>1$ 且 $y_n$ 收斂，則必須有 $y_n\to 0$，進而要求 $\alpha^n\sin n\beta\to 0$，這在 $\alpha>1$ 下不可能長期成立。故此命題為真：收斂只能發生在 $\alpha\le 1$。
6. 6

   判斷選項五

   (5) 若數列 $\langle x_n\rangle$ 收斂，則數列 $\langle y_n\rangle$ 也收斂。
   由 $x_n=\alpha^n\cos n\beta$ 收斂可知，若 $\alpha>1$，一般會發散；因此要收斂，必有 $\alpha\le 1$。
   若 $\alpha<1$，則
   $|y_n|=|\alpha^n\sin n\beta|\le \alpha^n\to 0$，所以 $y_n$ 收斂。
   若 $\alpha=1$，則 $x_n=\cos n\beta$ 收斂。對餘弦數列而言，收斂時只能趨近固定值；在複數表示下，這表示 $e^{i\beta}$ 的冪次行為穩定，對應的虛部 $y_n=\sin n\beta$ 也會收斂到同一組角度下的極限。故此項成立。
7. 7

   結論

   逐項判斷後，正確選項為 $(2)(5)$，與官方答案一致。

關鍵觀念：#複數 #德莫弗定理 #極式表示 #數列收斂