113分科測驗數學甲 第9題 詳解

答案$x=-7$，$y=0$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   列運算不動解，先讀出前兩組的解

   對增廣矩陣做列運算（交換兩列、某列乘上非零常數、把某列的倍數加到另一列），方程組的解完全不變，所以化簡後的矩陣與原方程組同解。
   第一組化簡後代表 $\begin{cases}x-y=3\\y=2\end{cases}$，由下往上代回：$y=2$、$x=3+y=5$，解為 $(x,y)=(5,2)$。
   第二組化簡後代表 $\begin{cases}x-y=2\\y=-1\end{cases}$，得 $y=-1$、$x=2+y=1$，解為 $(x,y)=(1,-1)$。
2. 2

   把兩組的解代回第一列方程，反推 $a$、$b$

   兩個方程組的係數 $a,b,c,d$ 相同，只有右端不同。把第一組的解 $(5,2)$ 代入 $ax+by=2$ 得 $5a+2b=2$；把第二組的解 $(1,-1)$ 代入 $ax+by=-1$ 得 $a-b=-1$。
   由後式得 $a=b-1$，代入前式：$5(b-1)+2b=2$，即 $7b=7$，故 $b=1$、$a=0$。
3. 3

   同法反推 $c$、$d$

   把 $(5,2)$ 代入 $cx+dy=1$ 得 $5c+2d=1$；把 $(1,-1)$ 代入 $cx+dy=-1$ 得 $c-d=-1$。
   由後式得 $c=d-1$，代入前式：$5(d-1)+2d=1$，即 $7d=6$，故 $d=\dfrac{6}{7}$、$c=-\dfrac{1}{7}$。
4. 4

   解出目標方程組

   目標方程組為 $\begin{cases}0\cdot x+1\cdot y=0\\-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{6}{7}y=1\end{cases}$。第一式直接給出 $y=0$；代入第二式得 $-\dfrac{1}{7}x=1$，故 $x=-7$。
5. 5

   代回驗算，確認三組全部吻合

   用 $a=0$、$b=1$、$c=-\dfrac{1}{7}$、$d=\dfrac{6}{7}$ 逐一檢驗：$(5,2)$ 代入得 $0\cdot 5+1\cdot 2=2$ 與 $-\dfrac{5}{7}+\dfrac{12}{7}=1$，符合第一組；$(1,-1)$ 代入得 $0\cdot 1+1\cdot(-1)=-1$ 與 $-\dfrac{1}{7}-\dfrac{6}{7}=-1$，符合第二組；$(-7,0)$ 代入得 $1\cdot 0=0$ 與 $-\dfrac{1}{7}\cdot(-7)+\dfrac{6}{7}\cdot 0=1$，符合目標組。答案為 $x=-7$、$y=0$。

關鍵觀念：#增廣矩陣 #列運算 #線性方程組