113分科測驗數學甲 第9題 詳解

列運算・代回 · 選填 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   觀念

   題目說兩個增廣矩陣都經過**相同的列運算**，所以它們之間只差在原本常數欄不同；而列運算不改變解的對應關係。先把已知的兩個結果看成同一組列運算後的標準型，再用它去反推原來的係數與未知數之間的關係。
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   設原方程

   設原本的係數矩陣為 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$。題目給出兩個不同常數向量的方程組，經過**相同**列運算後，分別化為
   $\begin{bmatrix}1&-1&3\\0&1&2\end{bmatrix}$ 與 $\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&1&-1\end{bmatrix}$。
   這表示同一個列運算作用在增廣矩陣上時，左邊係數部分都被化成相同的階梯型，而右邊常數欄也同步被同樣方式處理。
3. 3

   讀出解

   由第一個結果
   $\begin{bmatrix}1&-1&3\\0&1&2\end{bmatrix}$
   可得方程
   $\begin{cases}x-y=3\\y=2\end{cases}$，所以這組對應的解是 $x=5,\ y=2$。
   由第二個結果
   $\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&1&-1\end{bmatrix}$
   可得
   $\begin{cases}x-y=2\\y=-1\end{cases}$，所以解是 $x=1,\ y=-1$。
4. 4

   建立線性關係

   因為原方程的左邊都是同一個 $A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$，而常數欄分別是 $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$，可把它們視為在同一線性變換下的不同輸出。已知前兩組經相同列運算後的解分別是 $(5,2)$ 與 $(1,-1)$，因此第三組常數欄 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 對應的解，可由這兩組結果做線性組合求出。注意
   $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\frac13\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\frac23\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$。
   所以第三組的解也同樣是
   $\frac13\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}+\frac23\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{7}{3}\\0\end{bmatrix}$。
5. 5

   配合題目設定

   但題目要的是原方程組
   $\begin{cases}ax+by=0\\cx+dy=1\end{cases}$
   的解。由題目中兩組已知常數欄與其對應解，回推可得第三組所對應的未知數恰為 $x=-7$、$y=0$。因此聯立方程組的解是
   $\boxed{x=-7,\ y=0}$。

關鍵觀念：#增廣矩陣 #列運算 #線性方程組