113分科測驗數學甲 第7題 詳解

導數・週期 · 多選 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   考點先抓準

   這題同時考兩件事：一是用 $f'(x)$ 判斷切線斜率、遞增遞減與凹凸性；二是用三角函數的週期判斷 $g(x)$ 是否滿足平移後不變。多選題要逐一檢查每個選項。
2. 2

   (一) 檢查 $f'(1)$

   $f(x)=x^5-5x^3+5x^2+5$，所以
   $$f'(x)=5x^4-15x^2+10x=5x(x^3-3x+2).$$
   代入 $x=1$：
   $$f'(1)=5(1)^4-15(1)^2+10(1)=5-15+10=0.$$
   所以選項 (1) 正確。
3. 3

   (二) 判斷 $[0,2]$ 是否遞增

   先把導數因式分解：
   $$f'(x)=5x^4-15x^2+10x=5x(x^3-3x+2)=5x(x-1)^2(x+2).$$
   在區間 $[0,2]$ 中，$5>0$、$x\ge 0$、$(x-1)^2\ge 0$、$x+2>0$，因此對所有 $x\in[0,2]$，都有
   $$f'(x)\ge 0.$$
   而且除 $x=0,1$ 外皆有 $f'(x)>0$，所以 $y=f(x)$ 在閉區間 $[0,2]$ 為遞增。故選項 (2) 正確。
4. 4

   (三) 判斷凹向上

   再求二階導數：
   $$f''(x)=20x^3-30x+10=10(2x^3-3x+1).$$
   同樣因式分解：
   $$2x^3-3x+1=(x-1)(2x^2+2x-1),$$
   所以
   $$f''(x)=10(x-1)(2x^2+2x-1).$$
   看 $[0,2]$ 內的號號變化：
   - 當 $x\in(0,\frac{-1+\sqrt{3}}{2})$ 時，$2x^2+2x-1<0$，而 $x-1<0$，故 $f''(x)>0$。
   - 當 $x\in(\frac{-1+\sqrt{3}}{2},1)$ 時，$2x^2+2x-1>0$，而 $x-1<0$，故 $f''(x)<0$。
   - 當 $x\in(1,2]$ 時，兩因子皆正，故 $f''(x)>0$。
   因此在 $[0,2]$ 上不是整段都凹向上，而是先凹向上、再凹向下、再凹向上。選項 (3) 錯誤。
5. 5

   (四) 檢查週期

   
   $$g(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{3}+\frac{\pi}{2}\right).$$
   正弦函數的週期是 $2\pi$，因此只要角度增加 $2\pi$，函數值就不變。若 $x$ 增加 $6$，則角度增加
   $$\frac{\pi}{3}\cdot 6=2\pi,$$
   所以
   $$g(x+6)=g(x).$$
   但題目寫的是 $g(x+6\pi)=g(x)$，此時角度增加
   $$\frac{\pi}{3}\cdot 6\pi=2\pi^2,$$
   這不是 $2\pi$ 的整數倍，因此一般不成立。故選項 (4) 錯誤。
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   (五) 檢查 $[3,4]$ 上是否皆遞增

   先看 $f'(x)$：
   $$f'(x)=5x(x-1)^2(x+2).$$
   當 $x\in[3,4]$ 時，各因子皆非負，且實際上都大於零，所以
   $$f'(x)>0,$$
   故 $y=f(x)$ 在 $[3,4]$ 上遞增。
   
   再看 $g(x)$：
   $$g'(x)=\frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi x}{3}+\frac{\pi}{2}\right)= -\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi x}{3}\right).$$
   當 $x\in[3,4]$ 時，$\frac{\pi x}{3}\in[\pi,\frac{4\pi}{3}]$，而在這個區間內 $\sin\left(\frac{\pi x}{3}\right)\le 0$，所以
   $$g'(x)\ge 0.$$
   因此 $y=g(x)$ 也在 $[3,4]$ 上遞增。故選項 (5) 正確。
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   結論

   逐項判斷結果為：
   - (1) 正確
   - (2) 正確
   - (3) 錯誤
   - (4) 錯誤
   - (5) 正確
   
   所以正確選項是 $(1)(2)(5)$，與官方答案一致。
8. 8

   全班最容易錯

   最容易錯在把 $g(x+6\pi)$ 誤當成週期平移。一定要先看角度增加多少：這題真正的週期平移是 $x$ 增加六，不是增加 $6\pi$。另外，判斷遞增時要看導數在整段區間是否恆非負，不是只看幾個點。

關鍵觀念：#導數 #單調性 #凹凸性 #週期函數