113分科測驗數學甲 第7題 詳解

答案(1)(2)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   導函數分解

   本題整合多項式微分與三角函數性質，最有效率的起手式是把 $f'(x)$ 完全因式分解。$f'(x)=5x^4-15x^2+10x=5x(x^3-3x+2)$；由 $x=1$ 代入 $x^3-3x+2$ 得 $0$，作因式分解 $x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)^2(x+2)$，故 $f'(x)=5x(x-1)^2(x+2)$。選項(1)：$f'(1)=5\cdot 1\cdot 0\cdot 3=0$，(1) 正確。
2. 2

   遞增判定

   選項(2)：當 $x\in[0,2]$，三個因式 $5x\ge 0$、$(x-1)^2\ge 0$、$x+2>0$，故 $f'(x)\ge 0$，且等號只發生在 $x=0$ 與 $x=1$ 這兩個孤立點，其餘各處導數皆為正，$f$ 在 $[0,2]$ 上遞增，(2) 正確。
3. 3

   二階導變號

   選項(3)：$f''(x)=20x^3-30x+10=10(x-1)(2x^2+2x-1)$。代 $x=\dfrac{1}{2}$：$f''\left(\dfrac{1}{2}\right)=10\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}+1\right)=-\dfrac{5}{2}<0$，故 $[0,2]$ 內存在凹向下的區段，(3) 錯誤。這是全題最誘答的選項：由 (2) 的「遞增」順手腦補成「凹向上」，但遞增與凹性是兩件獨立的事，必須看二階導數的正負。
4. 4

   週期是六

   選項(4)：$g(x)=\sin\left(\dfrac{\pi x}{3}+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\dfrac{\pi x}{3}$，週期為 $\dfrac{2\pi}{\pi/3}=6$——是 $6$，不是 $6\pi$。而 $g(x+6\pi)=\cos\left(\dfrac{\pi x}{3}+2\pi^2\right)$，$2\pi^2$ 不是 $2\pi$ 的整數倍（因 $\pi$ 不是整數），此式不恆等於 $g(x)$；具體檢驗 $x=0$：$g(0)=1$，$g(6\pi)=\cos 2\pi^2\approx 0.63\neq 1$，(4) 錯誤。
5. 5

   區間同增

   選項(5)：$x\in[3,4]$ 時，$f'(x)=5x(x-1)^2(x+2)>0$，$f$ 遞增。$g'(x)=-\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi x}{3}$，此時 $\dfrac{\pi x}{3}\in\left[\pi,\dfrac{4\pi}{3}\right]$，這段角落在第三象限（含端點 $\pi$），$\sin\dfrac{\pi x}{3}\le 0$，故 $g'(x)\ge 0$ 且僅在 $x=3$ 為零，$g$ 也遞增，(5) 正確。綜上，答案選 (1)(2)(5)。

關鍵觀念：#導數 #單調性 #凹凸性 #週期函數