113分科測驗數學甲 第10題 詳解

答案半徑 $=\dfrac{\sqrt{5}}{4}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   弦長套路

   本題考圓的弦長，最有效率的路線不是聯立解出 $Q$ 的座標，而是「圓心到弦的距離 $d$」配畢氏定理：弦長 $=2\sqrt{r^2-d^2}$。設 $\Gamma$ 的半徑為 $r$，取 $P=(r,0)$；取 $P=(-r,0)$ 時由對稱性算出的 $d$ 相同，結論不變。
2. 2

   點線距離

   過 $P(r,0)$、斜率 $\dfrac{1}{2}$ 的直線為 $y=\dfrac{1}{2}(x-r)$，化成一般式 $x-2y-r=0$。圓心 $O(0,0)$ 到此直線的距離 $d=\dfrac{|1\cdot 0-2\cdot 0-r|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{r}{\sqrt{5}}$。
3. 3

   列式解半徑

   弦長 $\overline{PQ}=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{r^2-\dfrac{r^2}{5}}=2\sqrt{\dfrac{4r^2}{5}}=\dfrac{4r}{\sqrt{5}}$。由題設 $\overline{PQ}=1$，即 $\dfrac{4r}{\sqrt{5}}=1$，解得 $r=\dfrac{\sqrt{5}}{4}$。
4. 4

   驗算收尾

   代回檢查：$r=\dfrac{\sqrt{5}}{4}$ 時 $d=\dfrac{r}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{4}$，半弦 $=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{\dfrac{5}{16}-\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{2}$，弦長 $=2\times\dfrac{1}{2}=1$，吻合題設。答案為 $\Gamma$ 的半徑 $=\dfrac{\sqrt{5}}{4}$。

關鍵觀念：#圓的方程 #直線與圓 #弦長公式

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