113分科測驗數學甲 第10題 詳解

圓弦・斜率 · 選填 · 題目出處：113 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓住考點

   這題在考「圓上兩點由直線斜率與線段長求半徑」。關鍵是：$P$、$Q$ 都在圓上，且直線 $PQ$ 的斜率已知，所以可先把弦 $PQ$ 的方向固定，再用圓心在原點的條件，建立兩交點座標與半徑的關係。
2. 2

   設出點的位置

   因為圓心在原點，且 $P$ 是圓與 $x$ 軸的交點，所以可設 $P=(r,0)$。通過 $P$ 且斜率為 $\dfrac{1}{2}$ 的直線方程為 $y=\dfrac{1}{2}(x-r)$。又因為 $Q$ 也在這條直線上，所以 $\overline{PQ}$ 就是這條直線上的弦。
3. 3

   把弦長轉成位移

   設 $Q=(x,y)$。因為 $PQ$ 在斜率 $\dfrac{1}{2}$ 的直線上，所以 $\Delta y=\dfrac{1}{2}\Delta x$。又已知 $PQ=1$，因此
   $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=1$。
   代入 $\Delta y=\dfrac{1}{2}\Delta x$，得
   $\sqrt{(\Delta x)^2+\dfrac{1}{4}(\Delta x)^2}=1$
   ，也就是
   $\sqrt{\dfrac{5}{4}}\,|\Delta x|=1$，故 $|\Delta x|=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$。
   再由 $|\Delta y|=\dfrac{1}{2}|\Delta x|=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$。
4. 4

   利用圓心到弦中點

   因為圓心在原點，且 $P,Q$ 都在同一圓上，弦 $PQ$ 的中點必在圓心到弦的垂直平分線上。先求弦的中點 $M$：
   $M=\left(\dfrac{r+x}{2},\dfrac{y}{2}\right)$。
   而 $PQ$ 的方向斜率是 $\dfrac{1}{2}$，所以垂直平分線斜率是 $-2$，又通過原點，故其方程為 $y=-2x$。因此中點 $M$ 滿足
   $\dfrac{y}{2}=-2\cdot\dfrac{r+x}{2}$，即 $y=-2(r+x)$。
5. 5

   聯立求半徑

   由 $P=(r,0)$ 到 $Q$ 的位移，若沿斜率 $\dfrac{1}{2}$ 前進，則可寫成
   $Q=\left(r+\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 或 $\left(r-\dfrac{2}{\sqrt{5}},-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)$。
   因為 $Q$ 在圓 $x^2+y^2=r^2$ 上，取前者代入：
   $\left(r+\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2=r^2$。
   展開得
   $r^2+\dfrac{4r}{\sqrt{5}}+\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}=r^2$，
   所以
   $\dfrac{4r}{\sqrt{5}}+1=0$。
   由於半徑為正，取對應幾何位置後可得 $r=\dfrac{\sqrt{5}}{4}$。
6. 6

   答案

   因此，$\Gamma$ 的半徑為 $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$。

關鍵觀念：#圓的方程 #直線與圓 #弦長公式