114學年鷺江國中第1次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看清楚每一層有幾個

   圖中積木堆成角落狀，由上往下看：第 $1$ 層只有 $1$ 個；第 $2$ 層是一片三角形排列，前排 $2$ 個、後排 $1$ 個，共 $1+2=3$ 個；第 $3$ 層再大一圈，三排分別是 $3$、$2$、$1$ 個，共 $1+2+3=6$ 個。圖旁註明積木不會懸空，所以被擋住的那些一定存在。每層個數依序是 $1,\ 3,\ 6,\ \ldots$。
2. 2

   找出層與層之間的規律

   第 $1$ 層到第 $2$ 層多了 $2$ 個，第 $2$ 層到第 $3$ 層多了 $3$ 個，每往下一層就多鋪一排。照這個規律，第 $4$ 層會多 $4$ 個而有 $10$ 個。換句話說，第 $n$ 層就是 $1+2+3+\cdots+n$。
3. 3

   用頭尾相加算出第 n 層

   $1+2+3+\cdots+n$ 是首項 $1$、末項 $n$、共 $n$ 項的等差級數，用頭尾相加：$\dfrac{n\times(1+n)}{2}$。所以第 $n$ 層有 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 個積木。檢查 $n=3$：$\dfrac{3\times4}{2}=6$，和數出來的一樣。
4. 4

   解出層數

   令 $\dfrac{n(n+1)}{2}=190$，兩邊乘 $2$ 得 $n(n+1)=380$。找兩個相鄰整數相乘等於 $380$：$18\times19=342$ 太小，$19\times20=380$ 剛好，$20\times21=420$ 太大，所以 $n=19$。驗算 $\dfrac{19\times20}{2}=190$，正確。所以是第 $19$ 層。

關鍵觀念：#數列規律 #立體堆疊

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