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109學年鷺江國中第1次段考數學 第19題 詳解

負首項等差級數求首個正項 · 填充 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
已知等差級數(−73)+(−67)+(−61)+⋯⋯(-73)+(-67)+(-61)+\cdots\cdots，求從第____項開始為正數？

答案14看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    找出首項與公差

    級數是 (−73)+(−67)+(−61)+⋯(-73)+(-67)+(-61)+\cdots，首項 a1=−73a_1=-73，公差 d=(−67)−(−73)=6d=(-67)-(-73)=6。
  2. 2

    寫出通項

    an=−73+6(n−1)=−73+6n−6=6n−79a_n=-73+6(n-1)=-73+6n-6=6n-79。
  3. 3

    解不等式

    要讓 an>0a_n>0，即 6n−79>06n-79>0，6n>796n>79，n>796=1316n>\dfrac{79}{6}=13\dfrac{1}{6}。項數 nn 必須是正整數，比 131613\dfrac{1}{6} 大的最小整數是 1414。
  4. 4

    代回確認

    檢查第 1313 項：6×13−79=78−79=−16\times13-79=78-79=-1，仍是負數；第 1414 項：6×14−79=84−79=56\times14-79=84-79=5，是正數。所以從第 1414 項開始為正數，答案是 1414。
答案
14

關鍵觀念：#等差數列 #通項公式 #不等式應用

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常見卡點
解出 n>1316n>13\dfrac{1}{6} 之後，很多人直接把 1313 填上去，可是 1313 並不大於 131613\dfrac{1}{6}。代回去看最清楚：第 1313 項是 −1-1，只差一點點，但仍然是負數。另一個錯是通項寫成 −73+6n-73+6n，漏掉了 n−1n-1 的減一，這樣解出來也會少一項。碰到「從第幾項開始」的題目，算完務必把前後兩項都代回檢查。

還是卡住嗎？

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