111學年鷺江國中第1次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先數灰色三角形

   看圖：圖(一) 只有 $1$ 個灰色小三角形；圖(二) 由 $4$ 個小三角形拼成，其中尖角朝上的 $3$ 個是灰色、中央倒著的 $1$ 個是白色，灰色有 $3$ 個；圖(三) 由 $9$ 個小三角形拼成，朝上的 $6$ 個是灰色、倒著的 $3$ 個是白色，灰色有 $6$ 個。
2. 2

   按列找出規律

   把灰色三角形一列一列數：圖(一) 是 $1$；圖(二) 是 $1+2=3$；圖(三) 是 $1+2+3=6$。原來第 $n$ 個圖形是由上而下第 $1$ 列 $1$ 個、第 $2$ 列 $2$ 個……第 $n$ 列 $n$ 個灰色三角形疊成，總數就是 $1+2+3+\cdots+n$。
3. 3

   套到圖十五

   依照這個規律，圖(十五) 的灰色三角形個數 $=1+2+3+\cdots+15$，這是一個首項 $1$、末項 $15$、公差 $1$ 的等差級數。
4. 4

   用等差級數求和

   $1+2+\cdots+15$ 頭尾配對：$1+15=16$、$2+14=16\cdots$ 每組都是 $16$。$15$ 是奇數，配到 $7+9=16$ 就剩正中間的 $8$，所以是 $7\times16+8=120$；用公式寫就是 $\frac{15\times16}{2}=120$。圖(十五) 需要 $120$ 個灰色三角形。

關鍵觀念：#數列規律 #圖形規律

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