114學年鷺江國中第1次段考數學 第25題 詳解

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逐步解析

1. 1

   兩個已知相減才有用

   前 $170$ 項的和已經包含了前 $130$ 項，所以把兩者相減，剩下的正好是第 $131$ 項到第 $170$ 項這一段的和：$47-127=-80$。這一段共有 $170-130=40$ 項。
2. 2

   求出這段的頭尾之和

   等差數列取出連續的一段仍然是等差數列，一樣可以用「首項加末項，乘項數，再除以 $2$」：$\dfrac{40\times(a_{131}+a_{170})}{2}=-80$，即 $20\times(a_{131}+a_{170})=-80$，所以 $a_{131}+a_{170}=-4$。
3. 3

   下標和相同，兩項之和也相同

   注意 $131+170=301$，而 $1+300$ 也是 $301$。原因是：$a_{131}$ 比 $a_1$ 多了 $130$ 個公差，$a_{170}$ 又比 $a_{300}$ 少了 $130$ 個公差，一多一少正好抵消，所以 $a_1+a_{300}=a_{131}+a_{170}=-4$。這樣就不必真的去解首項和公差。
4. 4

   算出前 300 項的和

   再用一次頭尾相加：前 $300$ 項的和 $=\dfrac{300\times(a_1+a_{300})}{2}=150\times(-4)=-600$。所以此數列的前 $300$ 項的和為 $-600$。

關鍵觀念：#等差級數

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