112學年鷺江國中第1次段考數學 第23題 詳解

答案$165$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先算出要堆幾層

   先看層數和底層小三角形個數的關係：$1$ 層時底層有 $1$ 個，$2$ 層時底層有 $3$ 個，$3$ 層時底層有 $5$ 個（圖上底層編號 $1$ 到 $5$）。$1$、$3$、$5$ 是首項 $1$、公差 $2$ 的等差數列，所以第 $n$ 層有 $2n-1$ 個。令 $2n-1=19$，得 $2n=20$、$n=10$，也就是要堆成 $10$ 層。
2. 2

   想一個不會重複也不會漏的數法

   大三角形裡的牙籤只有三個方向：水平的、往左斜的、往右斜的。相鄰的小三角形會共用同一根牙籤，所以不能一個三角形算 $3$ 根去乘。改成「把同方向的牙籤分成一組來數」，就既不會重複也不會漏掉。
3. 3

   用題目給的 3 層圖驗證這個數法

   看 $3$ 層的圖：水平方向的牙籤由上往下，第一條線有 $1$ 根、第二條線有 $2$ 根、最底下那條有 $3$ 根，共 $1+2+3=6$ 根。往左斜和往右斜的方向，因為大三角形三邊完全對稱，也各是 $6$ 根。三個方向合計 $6\times3=18$ 根，和題目說的 $18$ 根完全一致，代表這個數法正確。
4. 4

   推到 10 層

   同樣的道理，$10$ 層時每個方向的牙籤由上往下依序是 $1$、$2$、$3$、……、$10$ 根。這是首項 $1$、末項 $10$、共 $10$ 項的等差級數，和為 $\dfrac{(1+10)\times10}{2}=\dfrac{110}{2}=55$ 根。
5. 5

   三個方向合計

   三個方向各 $55$ 根，所以總共需要 $55\times3=165$ 根牙籤。
6. 6

   把每一段理由都留在卷面上

   這是計算題，改的是過程不只是答案，所以「底層 $19$ 個對應 $2n-1=19$、要堆 $10$ 層」「每個方向的牙籤是 $1+2+\cdots+10=55$ 根」「三個方向共 $55\times3=165$ 根」這三段都要寫出來，最好再附上用 $3$ 層驗算得 $18$ 根的那一步，讓每一段推理都看得到理由。過程要留在卷面上才拿得到分。答案是 $165$ 根牙籤。

關鍵觀念：#數列規律 #圖形規律

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