112學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   設公比並數清楚項數

   設兩個數列共同的公比為 $r$。第一個數列 $a$、△、$3b$ 有 $3$ 項，從首項走到末項要乘 $2$ 次公比；第二個數列 $3a$、◎、□、$b$ 有 $4$ 項，從首項走到末項要乘 $3$ 次公比。
2. 2

   分別列出兩個關係式

   第一個數列：$3b=a\times r^2$，即 $3b=ar^2$。第二個數列：$b=3a\times r^3$，即 $b=3ar^3$。注意 $3b$ 和 $3a$ 前面的係數 $3$ 要一起帶進式子。
3. 3

   代入消去未知數

   把 $b=3ar^3$ 代進 $3b=ar^2$：$3\times(3ar^3)=ar^2$，也就是 $9ar^3=ar^2$。
4. 4

   解出公比

   等比數列的每一項和公比都不能是 $0$，所以 $a\neq0$、$r\neq0$，兩邊可以同除以 $ar^2$，得 $9r=1$，因此 $r=\dfrac{1}{9}$。
5. 5

   取一組數字驗算

   取 $a=81$，公比 $\dfrac{1}{9}$ 時第一個數列是 $81$、$9$、$1$，所以 $3b=1$、$b=\dfrac{1}{3}$。再看第二個數列：首項 $3a=243$，依序是 $243$、$27$、$3$、$\dfrac{1}{3}$，末項正好等於 $b$，兩個數列的公比都是 $\dfrac{1}{9}$，完全符合。所以公比為 $\dfrac{1}{9}$。

關鍵觀念：#等比數列 #公比

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