108學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先數出每一款的規模

   從圖上數：第一款是 $3$ 欄（橫向 $3$ 格）$\times2$ 列（縱向 $2$ 格）；第二款 $5$ 欄 $\times3$ 列；第三款 $7$ 欄 $\times4$ 列；第四款 $9$ 欄 $\times5$ 列。欄數 $3,5,7,9$ 每次加 $2$，列數 $2,3,4,5$ 每次加 $1$，所以第 $n$ 款是 $(2n+1)$ 欄 $\times(n+1)$ 列。
2. 2

   找白色磁磚的規律

   白色集中在中間，而且永遠是左右兩個正方形區塊：第二款每塊 $1\times1$，共 $2$ 塊；第三款每塊 $2\times2$，共 $8$ 塊；第四款每塊 $3\times3$，共 $18$ 塊。所以第 $n$ 款的白色磁磚數是 $2(n-1)^2$（$n=1$ 時是 $0$ 塊，和第一款全灰相符）。
3. 3

   由白色磁磚求出款式

   令 $2(n-1)^2=338$。兩邊先除以 $2$：$(n-1)^2=169$。$n$ 是正整數，所以 $n-1=13$，得 $n=14$，也就是第 $14$ 款。
4. 4

   算灰色磁磚

   第 $14$ 款總共有 $(2\times14+1)\times(14+1)=29\times15=435$ 塊磁磚，扣掉白色的 $338$ 塊，灰色就是 $435-338=97$ 塊。所以需要 $97$ 塊灰色磁磚。
5. 5

   換個方法驗算

   灰色磁磚數其實自己就是等差數列：第一款 $6$、第二款 $13$、第三款 $20$、第四款 $27$，每次多 $7$，通項是 $7n-1$。代入 $n=14$ 得 $7\times14-1=97$，和上面算的一樣，可以放心。

關鍵觀念：#規律 #數列 #應用問題

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