108學年鷺江國中第1次段考數學 第21題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把雞舍的角弄清楚

   雞舍是等腰直角三角形，把直角頂點記作 $R$、兩股的另一端記作 $P$ 與 $Q$，則 $\overline{RP}=\overline{RQ}=3$ 公尺。等腰直角三角形的兩個底角相等，所以 $\angle P=\angle Q=\dfrac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ$。小狗拴在 $R$，繩長 $4$ 公尺，在雞舍外面活動。
2. 2

   主要的那一塊大扇形

   繩子還沒卡到任何轉角時，小狗以 $R$ 為圓心、$4$ 公尺為半徑轉；但雞舍本身佔掉了 $R$ 處的內角 $90^\circ$，狗進不去。可掃的角度是 $360^\circ-90^\circ=270^\circ$：$$\dfrac{270}{360}\times\pi\times4^2=\dfrac{3}{4}\times16\pi=12\pi$$
3. 3

   繩子繞過轉角還能再掃

   這題的關鍵在這裡。當小狗走到貼著其中一股（例如 $\overline{RP}$）的位置時，繩子會被 $P$ 這個轉角卡住。此時繩子已經有 $3$ 公尺貼在 $\overline{RP}$ 上，還剩下 $4-3=1$ 公尺可以繞過 $P$ 繼續往前掃。另一股的端點 $Q$ 完全同理。只算大扇形就收工，就會漏掉這兩小塊。
4. 4

   算兩個小扇形

   以 $P$ 為圓心、半徑 $1$ 公尺。繩子從「沿 $\overline{RP}$ 向外延長」的位置開始轉，一直轉到「貼上斜邊 $\overline{PQ}$」為止；這個角是 $\angle P=45^\circ$ 的補角，也就是 $180^\circ-45^\circ=135^\circ$。$Q$ 端同理，兩塊合計$$2\times\dfrac{135}{360}\times\pi\times1^2=2\times\dfrac{3}{8}\pi=\dfrac{3\pi}{4}$$
5. 5

   三塊相加

   大扇形只落在 $R$ 的外角範圍內，兩個小扇形則落在大扇形掃不到的那個 $90°$ 楔形裡，各自從股的延長線起算、貼著大扇形的兩端接上去，剛好接在大扇形的兩端，三塊互不重疊，可以直接相加：$$12\pi+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{48\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{51\pi}{4}$$所以小狗可活動區塊的面積是 $\dfrac{51\pi}{4}$ 平方公尺。

關鍵觀念：#扇形面積 #等腰直角三角形 #應用問題