114學年鷺江國中第1次段考數學 第11題 詳解

逐步解析

1. 1

   先求公差

   等差數列相鄰兩項相減就是公差。用已知的第一、二項：$d=(4+3\sqrt7)-(1+\sqrt7)$。整數部分 $4-1=3$，根式部分 $3\sqrt7-\sqrt7=2\sqrt7$，所以 $d=3+2\sqrt7$。
2. 2

   往後加一次公差

   空格是第三項，等於第二項再加一次公差：$(4+3\sqrt7)+(3+2\sqrt7)=(4+3)+(3+2)\sqrt7=7+5\sqrt7$。含根號的加法要把整數和整數加、$\sqrt7$ 的係數和係數加，不能混在一起。
3. 3

   用第四項驗算

   再加一次公差檢查：$(7+5\sqrt7)+(3+2\sqrt7)=10+7\sqrt7$，正好就是題目給的第四項，代表公差抓對了。
4. 4

   寫出答案

   整串是 $1+\sqrt7,\ 4+3\sqrt7,\ 7+5\sqrt7,\ 10+7\sqrt7$。整數部分 $1,4,7,10$ 每次加 $3$，$\sqrt7$ 的係數 $1,3,5,7$ 每次加 $2$，兩串都成等差，完全吻合。所以空格應填 $7+5\sqrt7$。

關鍵觀念：#等差數列

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