114學年鷺江國中第1次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   插入後的數列長什麼樣

   原數列 $2,3,4,5,6$ 有 $5$ 項、$4$ 個間隔。插入一些數之後整串仍要是等差，而且首項還是 $2$、末項還是 $6$，代表原本的 $2,3,4,5,6$ 都還留在裡面。原本 $2$ 到 $3$、$3$ 到 $4$、$4$ 到 $5$、$5$ 到 $6$ 每一段都剛好差 $1$，寬度一樣；新數列每一步加的公差也一樣，所以走完每一段用掉的步數必定相同，也就是每個間隔要插入一樣多的數。設每個間隔插 $k$ 個，新數列共有 $5+4k$ 項。
2. 2

   用頭尾相加算總和

   等差數列求和的做法是「首項加末項，乘上項數，再除以 $2$」。新數列首項 $2$、末項 $6$，設共 $n$ 項，總和為 $\dfrac{n\times(2+6)}{2}=4n$。
3. 3

   把項數的限制代進去

   由第一步 $n=5+4k$，所以總和 $=4(5+4k)=20+16k$。依序代入 $k=0,1,2,3,4$ 得到 $20,\ 36,\ 52,\ 68,\ 84$。其中 $84$ 出現在選項裡，此時 $k=4$、$n=21$、公差為 $\dfrac{6-2}{20}=0.2$，數列是 $2,\ 2.2,\ 2.4,\ \ldots,\ 6$，確實含有原本的 $3,4,5$。
4. 4

   其他三個為什麼不行

   反過來用 $4n$ 驗：$72\div4=18$、$64\div4=16$、$40\div4=10$，項數雖然都是整數，但 $18$、$16$、$10$ 都寫不成 $5+4k$ 的形式（算出來的 $k$ 分別是 $3.25$、$2.75$、$1.25$），也就是沒辦法讓四個間隔各插入同樣多的整數個數。只有 $84$ 對應的 $n=21=5+4\times4$ 成立。故選 (A)。

關鍵觀念：#等差數列 #插入項 #數列和

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