114學年鷺江國中第1次段考數學 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用公比表示 a 與 b

   $5,a,b$ 成等比且公比為 $r$，所以 $a=5r$、$b=5r^2$（$r\neq0$）。要比較 $a$ 與 $b$ 誰大，最直接的方法是算差：$b-a=5r^2-5r=5r(r-1)$，再看這個式子的正負。
2. 2

   公比為正時大小不一定

   當 $r>0$，$5r$ 是正的，但 $r-1$ 可正可負。取 $r=2$：數列是 $5,10,20$，此時 $b=20>a=10$；取 $r=\dfrac{1}{2}$：數列是 $5,\ 2.5,\ 1.25$，此時 $b=1.25<a=2.5$。同一個條件下兩種結果都出現，所以 (A) 與 (B) 都不能說「一定」。
3. 3

   公比為負時一定分得出來

   當 $r<0$，$a=5r$ 是負數，而 $b=5r^2$ 裡的 $r^2$ 必為正，所以 $b$ 是正數。負數一定小於正數，因此 $b>a$ 必成立。用差式看也一樣：$5r<0$、$r-1<0$，兩個負數相乘得正，$b-a=5r(r-1)>0$。
4. 4

   檢查負公比的另一種說法

   (C) 說 $r<0$ 時 $b<a$，用 $r=-2$ 檢查：數列是 $5,-10,20$，$b=20$、$a=-10$，明明是 $b>a$；再用 $r=-\dfrac{1}{2}$ 檢查：數列是 $5,-2.5,1.25$，$b=1.25>a=-2.5$，仍然是 $b>a$。所以 (C) 不成立，只有「$r<0$ 時 $b>a$」永遠正確。故選 (D)。

關鍵觀念：#等比數列 #公比正負

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