114學年鷺江國中第1次段考數學 第8題 詳解

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   兩項相乘只看下標和

   設首項為 $a_1$、公比為 $r$，把這個等比數列照同樣的公比往後延伸，則 $a_n=a_1r^{n-1}$。把兩項相乘：$a_m\times a_n=a_1r^{m-1}\times a_1r^{n-1}=a_1^2r^{m+n-2}$。可以看出結果只跟「兩個下標的和 $m+n$」有關，這是這題最省力的切入點。
2. 2

   算出前兩項的下標和

   第一項 $a_2\times a_2$，下標和是 $2+2=4$，寫成指數是 $a_1^2r^{2}$；第二項 $a_3\times a_4$，下標和是 $3+4=7$，寫成指數是 $a_1^2r^{5}$。
3. 3

   要成等比，指數要等差

   第二項除以第一項得 $\dfrac{a_1^2r^5}{a_1^2r^2}=r^3$。要讓三項成等比，第三項除以第二項也必須是 $r^3$，所以第三項必須是 $a_1^2r^{8}$。由於指數是「下標和減 $2$」，第三項的下標和要是 $8+2=10$。換句話說，三項的下標和必須照 $4,\ 7,\ 10$ 每次加 $3$ 排下去。
4. 4

   找出下標和為 10 的那一個

   第三項寫成 $a_2\times a_k$，下標和是 $2+k$。令 $2+k=10$ 得 $k=8$，也就是 $a_2\times a_8$。驗算：三項依序是 $a_1^2r^2$、$a_1^2r^5$、$a_1^2r^8$，相鄰兩項的比都是 $r^3$，確實成等比。
5. 5

   其他三個下標和對不上

   (A) 的 $a_2\times a_7$ 下標和是 $9$，是把第二項算出來的 $7$ 直接抄下來當下標，忘了還要再加一次 $3$；(D) 的 $a_2\times a_{10}$ 下標和是 $12$，是把「下標和要等於 $10$」誤看成「第二個因式的下標就是 $10$」；(C) 的 $a_2\times a_9$ 下標和是 $11$，同樣不是 $10$。三個都不成等比，只有下標和為 $10$ 的 $a_2\times a_8$ 可以。故選 (B)。

關鍵觀念：#等比數列

同主題一起複習：數列與級數 →