指數與對數

國中・高中 · 歷屆 7 題 · 跨 5 份考卷

指數律與對數怎麼運算？
這裡整理了113會考、113學測、114分科測驗、114學測、115學測共 7 題指數與對數考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

對數函數×2 指數函數×2 等差數列×2 不等式範圍 介值定理 半衰期 反例 圖形恆等 對數運算律 指數大小比較 指數對數互化 指數律 指數成長與衰退 整數點計數 數值大小關係 科學記號 等比數列 點共線

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 科學記號・比大小113會考數學 第8題
   全班最容易錯在：看到前面的數字以為比較大，就直接判斷大小，卻忘了負次方的影響。像這題 $6.3\times 10^{-6}$ 雖然前面的 6.3 比 3.2、7.5 大，但因為 $10^{-6}$ 比 $10^{-5}$ 小，所以它反而最小。
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2. 指數衰退・半衰期113學測數學A 第1題
   把指數衰退誤當成平均分配
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3. 對數圖形・等價式113學測數學A 第7題
   最容易把「能化成對數式」誤當成「圖形完全相同」，一定要檢查定義域和是否多出別的點。
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4. 指數函數・選項判析114分科測驗數學甲 第6題
   （５）不能只靠幾個代入值判斷；題目要的是「對任意」是否成立，最有效的方法是找反例。
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5. 格點・對數面積114學測數學A 第4題
   最容易錯在把每一列的格子點數多算一列，或把 $x=30.5$ 當成 $31$ 來看。
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6. 指數等比115學測數學A 第3題
   最容易錯在把「等比數列的公比」看成 $a$，其實要先用 $f(c_2)/f(c_1)=a^{c_2-c_1}$ 解出 $a$；另一個常錯點是 $f(10),f(8),f(6)$ 的公比要算 $f(8)/f(10)=a^{-2}$，不是 $a^2$。
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7. 共線等差・對數方程115學測數學A 第15題
   兩個大坑：①把 $\log 3a$ 誤讀成「以 3 為底」的 $\log_3 a$——這題的 log 全是常用對數、真數是 $3a$、$4b$、$6c$；②解出兩根後忘了用 $a<b<c$ 篩掉 $\dfrac{3}{4}$，選填就整題沒分了。
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