113學年新莊國中第2次段考數學 第24題 詳解

答案(1) 四位數 (2) $E$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   第一小題湊出十的次方

   $2^3\times5^2\times7$ 裡有三個 $2$ 和兩個 $5$，先把 $2$ 和 $5$ 兩兩配成 $10$：$2^3\times5^2=2\times\left(2^2\times5^2\right)=2\times10^2=2\times100=200$。再乘 $7$：$200\times7=1400$。$1400$ 有四個數字，所以 $2^3\times5^2\times7$ 是四位數。
2. 2

   把四的次方換成二

   第 $2$ 小題先統一底數。$4=2^2$，所以 $4^5=\left(2^2\right)^5=2^{2\times5}=2^{10}$。於是第一個括號 $3\times4^5\times5^7=3\times2^{10}\times5^7$，第二個括號是 $2^3\times5^4$。
3. 3

   兩個括號相乘

   同底數相乘，指數相加：$\left(3\times2^{10}\times5^7\right)\times\left(2^3\times5^4\right)=3\times2^{10+3}\times5^{7+4}=3\times2^{13}\times5^{11}$。
4. 4

   再湊一次十的次方

   把 $2^{13}$ 拆成 $2^2\times2^{11}$，讓 $2$ 和 $5$ 配對：$3\times2^2\times2^{11}\times5^{11}=12\times\left(2\times5\right)^{11}=12\times10^{11}$。$12\times10^{11}$ 就是 $12$ 後面接十一個 $0$，寫出來是 $1200000000000$，總共有 $2+11=13$ 個數字，是十三位數。
5. 5

   對照計算機的限制

   這台計算機只要過程或結果超過 $12$ 位數，螢幕就會顯示錯誤訊息。先看中間值：第一個括號 $3\times4^5\times5^7=240000000$ 是九位數，第二個括號 $2^3\times5^4=5000$ 是四位數，都沒有超過 $12$ 位，所以過程中不會提早跳出錯誤訊息。計算結果 $1200000000000$ 是十三位數，已經超過 $12$ 位，所以小旭算完時，螢幕顯示的是錯誤訊息 E。

關鍵觀念：#指數律 #位數判斷 #計算機限制應用

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