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108學年鷺江國中第2次段考數學 第9題 詳解

同底負分數次方大小比較 · 單選 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
(−45)5\left(-\dfrac{4}{5}\right)^5、(−45)6\left(-\dfrac{4}{5}\right)^6、(−45)7\left(-\dfrac{4}{5}\right)^7、(−45)8\left(-\dfrac{4}{5}\right)^8四個數中，最大的數為何？ (A) (−45)5\left(-\dfrac{4}{5}\right)^5 (B) (−45)6\left(-\dfrac{4}{5}\right)^6 (C) (−45)7\left(-\dfrac{4}{5}\right)^7 (D) (−45)8\left(-\dfrac{4}{5}\right)^8。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先分出正負

    底數 −45-\dfrac{4}{5} 是負數。負數的偶次方是正數、奇次方是負數，所以 (−45)5\left(-\dfrac{4}{5}\right)^5 和 (−45)7\left(-\dfrac{4}{5}\right)^7 是負數，(−45)6\left(-\dfrac{4}{5}\right)^6 和 (−45)8\left(-\dfrac{4}{5}\right)^8 是正數。正數一定比負數大，所以最大的只可能在後面兩個裡面。
  2. 2

    比較兩個正數

    (−45)6=(45)6\left(-\dfrac{4}{5}\right)^6=\left(\dfrac{4}{5}\right)^6、(−45)8=(45)8\left(-\dfrac{4}{5}\right)^8=\left(\dfrac{4}{5}\right)^8。因為 45<1\dfrac{4}{5}<1，每多乘一次 45\dfrac{4}{5} 結果就會變小，所以次數愈多反而愈小：(45)6>(45)8\left(\dfrac{4}{5}\right)^6>\left(\dfrac{4}{5}\right)^8。
  3. 3

    用數值確認

    (45)6=409615625≈0.262\left(\dfrac{4}{5}\right)^6=\dfrac{4096}{15625}\approx0.262，(45)8=65536390625≈0.168\left(\dfrac{4}{5}\right)^8=\dfrac{65536}{390625}\approx0.168，確實是六次方比較大。
  4. 4

    下結論

    四個數中最大的是 (−45)6\left(-\dfrac{4}{5}\right)^6，故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#指數律 #大小比較

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常見卡點
最常見的錯是直接看「指數最大」就挑 (−45)8\left(-\dfrac{4}{5}\right)^8，也就是 (D)。底數的絕對值小於 11 時，指數愈大反而愈小：(45)6≈0.262\left(\dfrac{4}{5}\right)^6\approx0.262，(45)8≈0.168\left(\dfrac{4}{5}\right)^8\approx0.168。也有人忘了先分正負，拿奇次方的負數去比大小，選到 (A) 或 (C)；負數一定小於正數，一開始就可以全部刪掉。

還是卡住嗎？

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