115學測數學A 第3題 詳解

指數等比 · 單選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   看題目在考什麼

   已知 $f(x)=a^x$，而且 $c_1,c_2,c_3$ 是等差數列，所以中間項的差都一樣。又因為 $f(c_1),f(c_2),f(c_3)$ 是等比數列，表示相鄰兩項的比值固定。這題核心就是：把「等差的 $x$」轉成「等比的函數值」，再反推 $a$。
2. 2

   先把等差數列寫出來

   設公差為 $\dfrac{10}{3}$，則
   $$c_2-c_1=\frac{10}{3},\qquad c_3-c_2=\frac{10}{3}.$$
   因為 $f(c_1),f(c_2),f(c_3)$ 是公比為 $4$ 的等比數列，所以
   $$\frac{f(c_2)}{f(c_1)}=4.$$
   代入 $f(x)=a^x$，得
   $$\frac{a^{c_2}}{a^{c_1}}=a^{c_2-c_1}=a^{10/3}=4.$$
   因此
   $$a=4^{3/10}=2^{3/5}.$$
3. 3

   求 $f(10),f(8),f(6)$ 的公比

   $f(10),f(8),f(6)$ 依序對應的比值是
   $$\frac{f(8)}{f(10)}=\frac{a^8}{a^{10}}=a^{-2}.$$
   把剛剛求到的 $a=2^{3/5}$ 代入：
   $$a^{-2}=(2^{3/5})^{-2}=2^{-6/5}.$$
   所以等比數列 $f(10),f(8),f(6)$ 的公比為 $2^{-6/5}$。
4. 4

   對照選項

   由上可得公比為
   $$2^{-6/5}.$$
   所以答案是（1）。

關鍵觀念：#指數律 #等差數列 #等比數列