115學測數學A 第3題 詳解

答案(1) 2^(-6/5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   指數接等差

   這題考指數律與數列的搭配：若 $c_1,c_2,c_3$ 是公差 $d$ 的等差數列，則 $\dfrac{f(c_2)}{f(c_1)}=\dfrac{a^{c_2}}{a^{c_1}}=a^{c_2-c_1}=a^{d}$，也就是「指數的等差」會變成「函數值的等比」，公比恰為 $a^{d}$。切入點就是用這條關係先求出底數 $a$。
2. 2

   求底數 a

   公差 $d=\dfrac{10}{3}$、公比為 $4$，故 $a^{10/3}=4$。兩邊取 $\dfrac{3}{10}$ 次方：$a=4^{3/10}=\left(2^2\right)^{3/10}=2^{6/10}=2^{3/5}$。
3. 3

   求新公比

   數列 $f(10),f(8),f(6)$ 的公比為 $\dfrac{f(8)}{f(10)}=a^{8-10}=a^{-2}=\left(2^{3/5}\right)^{-2}=2^{-6/5}$。注意指數是 $10\to 8\to 6$ 往下走，公比是「後項除以前項」，所以指數差是 $-2$。
4. 4

   答案選 (1)

   代回檢查：$a=2^{3/5}$ 時 $a^{10/3}=2^{(3/5)\cdot(10/3)}=2^2=4$，與題目條件相符。公比為 $2^{-6/5}$，答案選 (1)。誤選 (4) $2^{6/5}$ 的人是把公比算成 $\dfrac{f(10)}{f(8)}=a^{2}$——方向弄反了，這個數列的指數是遞減的。

關鍵觀念：#指數律 #等差數列 #等比數列

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